$G$ bir grup $k$ pozitif bir tam sayı olsun. Eğer $(ab)^n=a^nb^n$, $a,b \in G$ ve $n=k, k+1, k+2$ için, $G$ abel gruptur.

Question

$k$ pozitif bir tam sayı, $G$ bir grup olsun. $a,b \in G$ ve $n=k, k+1, k+2$ için

$(ab)^n=a^nb^n$ sağlanıyorsa $G$ değişmeli bir gruptur. 

Answer 1

$k \in \mathbb{N}$, $a,b$ elemanları $G$'nin herhangi $2$ elemanı olsun. Amaç: $ab=ba$.

Şimdi elimizde $(ab)^k=a^kb^k$

$(ab)^{k+1}=a^{k+1}b^{k+1}$ 

$(ab)^{k+2}=a^{k+2}b^{k+2}$.

$(ab)^{k+1}=(ab)^k(ab)=a^kb^kab=a^{k+1}b^{k+1}$
$\implies a^kb^ka=a^{k+1}b^k$
$\implies b^ka=ab^k$.
Şu dursun kenarda.

$(ab)^{k+2}=(ab)^{k+1}(ab)=a^{k+1}b^{k+1}ab=a^{k+2}b^{k+2}$. Soldan $a^{-k-1}$ ile çarp:
$b^{k+1}ab=ab^{k+2} \implies b^{k+1}a=ab^{k+1}$.
Bu da dursun kenarda: $b^{k+1}a=ab^{k+1}$.

Kenarda dursun dediğim eşitliklerden $a$'yı çekelim:

$a=b^{-k}ab^{k}$
$a=b^{-k-1}ab^{k+1}$

$\implies b^{-k}ab^{k} =b^{-k-1}ab^{k+1}$.

Soldan $b^{k+1}$, sağdan $b^{-k}$ ile çarparsak, sonunda, $ba=ab$ elde ederiz.