Her $a, b\in (G,\circ) $ için $(ab) ^2=a^2b^2$ $\Leftrightarrow$ $ab=ba$

Question

önermenin sol tarafını kanıtladım sağ tarafı içinse ilerleme kaydedemedim (başarısız denemelerimi telefondan yazmaya üşendim doğrusu) yardımcı olursanız sevinirim. 

Comments

Cevabı sitede olmalı. 

Answer 1

$\Rightarrow$ $(ab)^2=a^2b^2$ olsun. Sol tarafi $(ab)^2=(ab)(ab)$ diye yazabiliriz.

$(ab)(ab)=a^2b^2$ olur. Bu esitligi soldan $a^{-1}$ ile ve sagdan $b^{-1}$ ile carpalim.

$a^{-1}(ab)(ab)b^{-1}=a^{-1}a^2b^2b^{-1}$

$a^{-1}ababb^{-1}=a^{-1}a^2b^2b^{-1}$

$ba=ab$ olur.

$\Leftarrow$ $ba=ab$ olsun.

$(ab)^2=(ab)(ab)=abab=aabb=a^2b^2$

Answer 2

(ab)²=a²b²⇔ ab=ba

⇒(ab)²=a²b²

    (ab)(ab)=aabb
    a(ba)b=a(ab)b

    a^-1a(ba)b=a^-1a(ab)b

    e(ba)b=e(ab)b
    (ba)b=(ab)b
    (ba)b^-1=(ab)bb^-1
    (ba)e=(ab)e
    ba=ab

⇒ab=ba
     abb=bab
     aabb=abab

     a²b²=(ab)(ab)

Kullanılan özellikler:
1)İkili işlemin iyi tanımlılığı
2)Gruplarda birleşme özelliği
3)Gruplarda ters eleman özelliği
4)Gruplarda birim eleman özelliği

Answer 3

Sol kısım için soldan $a^{-1}$ ve sağdan $b^{-1}$ çarpmak yeterli

Sağ kısım oldukça açık