Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
350 kez görüntülendi

TANIM : G bir grup ve a∈G olmak üzere a elemanının merkezleyecisi M(a) ile gösterilir.

M(a)={g∈G: ag=ga} olarak tanımlanır.

Soruda verilen teoremde grubun merkezi olduğunu göstermekten yararlanabilirmiyim 

İlk olarak birim eleman aticam ve boştan farklı oldugunu gösterecem daha sonra alt grup aksiyomlarını yani kapalılık ve ters eleman özelliğini gösterecem bana yardımcı olabilirmisiniz.

Lisans Matematik kategorisinde (457 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 350 kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İlk aksiyomdan başlayalım 

1)Her x,y M(a) ve Her a∈G alalım.

i)Her x∈M(a) , a∈G için xa=ax

ii)Her y∈M(a) , a∈G için ya=ay

Tanımda verilen formata göre kapalı olduğunu göstermemiz gerekiyor.

Her a∈G için  (xy)a=x(ya)=x(ay)=y(ax)=y(xa)=a(yx) olduğundan dolayı her xy∈M(a) dır.

2) Her xM(a) , her a∈G için xa=ax tir.

 x'(xa)=(ax)x' yapalım

(x'x)a=(ax)x'

a=(ax)x' (her iki tarafı x' işleme sokalım)

x'a=(ax)x'x'

x'a=a(xx')x'

x'a=ax'

olduğundan x'M(a) dır.O halde M(a)<G dir.

(457 puan) tarafından 

2. adımda, herhalde x' ile x in tersi kastediliyor. 

Ama yapılan işlemlerde, iki kez, aynı hata yapılmış.

xa=ax oluşundan  x'(xa)=(ax)x' yazamayız. x' nün ax ile değişmeli olacağın nereden biliyoruz?

Ek: Eşitliğin iki tarafı aynı eleman ile çarpılırken aynı taraftan çarpmalısın.

Aynı durum 

a=(ax)x' (her iki tarafı x' işleme sokalım)

x'a=(ax)x'x'

satırında tekrarlanmış.

Onları düzeltmek (kolay) gerekir.

Teşekkür ederim yardımcı olurmusunuz ispatında?

$ax=xa$ eşitliğinin her iki tarafını $x^{-1}$ ile çarp.

Grubun değişmeli olduğu ile ilgili bir bilgi yok elemanların yerleri ile oynanmış grubun merkezinin değişmeli olduğunu kullanman gerek aksiyomlari sonuca göre düzenlenmesi sart

Bir eksk de şu: $M(a)$ nın boş olmadığının da gösterilmesi gerekir.  

Bu iki özellik $M(a)$ nın boş olmadığını göstermeye yetmiyor. 

Boş küme alt grup olmaz (çünki grup olmaz).

0 beğenilme 0 beğenilmeme

1.$e,\ G$ nin birim elemanı olsun. $ea=a=ae$ olduğu için $e\in M(a)$ olur. $M(a)\neq\emptyset$ dir. (Veya $a\in M(a)$ olduğu gösterilebilir)

2. $x,y\in M(a)$ olsun. Birleşme özelliği kullanarak

$(xy)a=x(ya)=x(ay)=(xa)y=(ax)y=a(xy)$ olduğu için $xy\in M(a)$ olur.

3. $x\in M(a)$ olsun. $ax=xa$ olduğu için bu eşitlikten $x^{-1}(ax)x^{-1}=x^{-1}(xa)x^{-1}$ olur.

Bu eşitlik, birleşme özelliği kullanarak

$x^{-1}a=ax^{-1}$ şekline gelir. Bu da $x^{-1}\in M(a)$ olduğu anlamına gelir.

(Başka bir yol da, (önce $M(a)\neq\emptyset$ olduğunu gösterip, sonra) $x,y\in M(a)$ ise $xy^{-1}\in M(a)$ olduğunu göstermektir.)

(4.9k puan) tarafından 
18,708 soru
20,904 cevap
68,486 yorum
20,783 kullanıcı