Processing math: 2%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
493 kez görüntülendi

Problem: G sonlu grup ve H \trianglelefteq G. Eğer G/H'de mertebesi n olan bir eleman varsa G'de de vardır.

Sonsuz gruplar için doğru değil. Bakınız, G= \mathbb Z , H= n\mathbb Z \to G/H \cong \mathbb Z_n

Lisans Matematik kategorisinde (234 puan) tarafından  | 493 kez görüntülendi
G nin G/H a projeksiyonu mapini dusunelim, bu elemanin gerdigi altgrupu bu fonksiyon/map altinda ters imajina bakarsak ne olur?  Burdan birseyler cikar sanirim, siz neler denediniz
Ben buna hala biraz şüpheyle bakıyorum, sonlu gruplarda bile.

Şu doğru: g'nin G içerisindeki derecesi, \bar{g}'ın G/H içerisindeki derecesinden daha az olamaz.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
gH nin G/H deki mertebesi n olsun.

g nin G deki mertebesi m ise (G sonlu olduğu için m sonlu) (gH)^m=g^mH=eH olur ve n\mid m elde edilir.

(G nin)  <g> altgrubu (\mathbb{Z}_m,+) ye izomorf (g\mapsto\bar{1}) olur.

\mathbb{Z}_m de \overline{m\over n} nin mertebesi  n dir.

Bu nedenle, g^{m\over n} nin (<g> de ve G de) mertebesi n olur.
(6.2k puan) tarafından 
İzormorfizmayı kullanmadan da görülüyor aslında.
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,857,339 kullanıcı