Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
496 kez görüntülendi
$G=\langle a\rangle$ mertebesi $n$ olan bir devirli grup olsun. $a^{k}$ , $G$ için üreteçtir $\Leftrightarrow \left( k,n\right) =1$

Sağ tarafı kabul ederek başladım

$\begin{aligned}\Leftarrow \left( k,n\right) =1 , kx+ny=1\\
a =a^{kx+ny}=\left( a^{k}\right) ^{x}\left( a^{n}\right) ^{y}=\left( a^{k}\right) ^{x}\end{aligned}$

$a=\left( a^{k}\right) ^{x}$ yani $\rightarrow G= <a^{k} >$

şimdi sol tarafı kabul edelim

$\Leftarrow a^{k} $ üreteç olsun. $G= <a^{k} >=\left( a^{k}\right) ^{m},a^{km}=m\in \mathbb{Z} $ buradan sonrası için devam edemedim.
Lisans Matematik kategorisinde (219 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 496 kez görüntülendi

$G$ deki herhangi bir $b$ elemanının $a^k$ türünden türünden yazılabileceğini göstermek gerekir. $a =a^{kx+ny}= \dots $ ile başladığınız zaman $a=\left( a^{k}\right) ^{x}$ elde ettiniz. Bu sadece özel bir eleman (üreteç) olan $a$'yı $a^k$ türünden yazmaya yarıyor. Dolayısıyla çift yönlü gerektirmenin bu tarafı da sorunlu duruyor.

 

Not: Bir de $a =a^{kx+ny}=\left( a^{k}\right) ^{x}+\left( a^{n}\right) ^{y}=\left( a^{k}\right) ^{x}$ ifadesindeki $+$ yerine $\cdot$ kullanarak $a =a^{kx+ny}=\left( a^{k}\right) ^{x}\cdot \left( a^{n}\right) ^{y}=\left( a^{k}\right) ^{x}$ yazılsa daha iyi olur. Çünkü aynı grup işlemi için biraz toplamsal grup gösterimi, biraz da çarpımsal grup gösterimi kullanarak ilerlemek doğru olmaz. Grup üzerinde sanki iki farklı işlem tanımlı gibi görünür. Ya hep toplamsal grup gösterimi, ya hep çarpımsal grup gösterimi tercih edilmelidir.

+ işareti hata olmuş düzenledim.
şöyle düşünmüştüm $a$ üreteç,

$a$ ' nın her üssü aynı zaman $a^k$ 'nın da üssü oluyor. G'nin elemanlarını $a^k$ ifadesi ilede gösterebiliyorum.O zaman $a^k$ da üreteçtir.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Eğer $ \mid x| =n$ ise $\mid x^k |= \frac{n}{(n,k)}$ olur. Sadece bunu kullanarak ispat yapılabilir.
(234 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Eğer $\mid x| =n$ ise $\mid x^k |= \frac{n}{(n,k)}$ olur.
20,246 soru
21,768 cevap
73,412 yorum
2,127,767 kullanıcı