Question

$G=\langle a\rangle$ mertebesi $n$ olan bir devirli grup olsun. $a^{k}$ , $G$ için üreteçtir $\Leftrightarrow \left( k,n\right) =1$

Sağ tarafı kabul ederek başladım

$\begin{aligned}\Leftarrow \left( k,n\right) =1 , kx+ny=1\\ a =a^{kx+ny}=\left( a^{k}\right) ^{x}\left( a^{n}\right) ^{y}=\left( a^{k}\right) ^{x}\end{aligned}$

$a=\left( a^{k}\right) ^{x}$ yani $\rightarrow G= <a^{k} >$

şimdi sol tarafı kabul edelim

$\Leftarrow a^{k}$ üreteç olsun. $G= <a^{k} >=\left( a^{k}\right) ^{m},a^{km}=m\in \mathbb{Z}$ buradan sonrası için devam edemedim.

Comments

$G$ deki herhangi bir $b$ elemanının $a^k$ türünden türünden yazılabileceğini göstermek gerekir. $a =a^{kx+ny}= \dots$ ile başladığınız zaman $a=\left( a^{k}\right) ^{x}$ elde ettiniz. Bu sadece özel bir eleman (üreteç) olan $a$'yı $a^k$ türünden yazmaya yarıyor. Dolayısıyla çift yönlü gerektirmenin bu tarafı da sorunlu duruyor.

 

Not: Bir de $a =a^{kx+ny}=\left( a^{k}\right) ^{x}+\left( a^{n}\right) ^{y}=\left( a^{k}\right) ^{x}$ ifadesindeki $+$ yerine $\cdot$ kullanarak $a =a^{kx+ny}=\left( a^{k}\right) ^{x}\cdot \left( a^{n}\right) ^{y}=\left( a^{k}\right) ^{x}$ yazılsa daha iyi olur. Çünkü aynı grup işlemi için biraz toplamsal grup gösterimi, biraz da çarpımsal grup gösterimi kullanarak ilerlemek doğru olmaz. Grup üzerinde sanki iki farklı işlem tanımlı gibi görünür. Ya hep toplamsal grup gösterimi, ya hep çarpımsal grup gösterimi tercih edilmelidir.

---

+ işareti hata olmuş düzenledim.

---

şöyle düşünmüştüm $a$ üreteç,

$a$ ' nın her üssü aynı zaman $a^k$ 'nın da üssü oluyor. G'nin elemanlarını $a^k$ ifadesi ilede gösterebiliyorum.O zaman $a^k$ da üreteçtir.

Answer 1

Eğer $\mid x| =n$ ise $\mid x^k |= \frac{n}{(n,k)}$ olur. Sadece bunu kullanarak ispat yapılabilir.