$A$, mertebesi bir $p$ asalı olan devirli bir grup olsun. $G=A\times A$ grubunun kaç tane otomorfizması vardır?

Question

Topics in Algebra, Herstein, 

2.14 Bölümü (Finite Abelian Groups), 15. Alıştırma.

Answer 1

Mertebesi $p^2$ olan grup ve elemanlarin mertebi (birim eleman haric) $p$. Bu grubu  ureten $2$ elemani nasil karsiya gondeririz: ilki icin $p^2-1$ secenek, ikincisi icin $p^2-p$ secenek. (Matris bazini secmek gibi)

Comments

Sercan ikincisi icin $p^2-p$ secenek var.

---

aahh, evet... Iyi ki aciklamayi yazmisim o zaman :)

Answer 2

$G$ iki boyut bir vektör uzayı olarak düşünülebilinir ( $\mathbb F_p$ cismi üzerinde). O yüzden $G$'nin otomorfizma grubu $ GL_2(\mathbb F _p )$ olur. Bu grubun eleman sayısını Sercan'ın söylediği gibi sayabilirsin. Önce birinci vektörü seç, sonra ikinciyi. Lineer bağımsız olmaları gerekiyor. Sonuç olarak $(p^2-1)(p^2-p)$ tane otomorfizma vardır.