Eğer $\mid x| =n$ ise $\mid x^k |= \frac{n}{(n,k)}$ olur.

Question

Standart cebir sorusu. İspatta kullandığım için ve burada daha önce sorulduğunu göremedim.

Answer 1

İlk olarak göstermeliyiz ki

$(x^{k})^{\frac{n}{(n,k)}} = 1_G$ midir? İncelediğimizde, $|x| = n$ olduğundan dolayı, $x^{n} = 1_G$ olacaktır ve

$(x^{k})^{\frac{n}{(n,k)}} = (x^{n})^{\frac{k}{(n,k)}} = (1_G)^{\frac{k}{(n,k)}} = 1_G$ olur.

İkinci olarak, $\frac{n}{(n,k)}$ değerinin, $(a^k)^m = 1_G$ eşitliğini sağlayan en küçük $m$ pozitif değerine eşit olduğunu göstermeliyiz.

Öyle bir $m \in \mathbb{N}$ alalım ki $(a^{k})^m = a^{km} = 1_G$ olsun. Bu eşitlikten kolayca görülür ki $n | km$'dir. O halde aynı şekilde

$\frac{n}{(n,k)} | \frac{k}{(n,k)} m$ olacaktır ve $(\frac{n}{(n,k)},\frac{k}{(n,k)}) = 1$ olduğundan dolayı (bu eşitliğin bilindiğini varsayıyoruz, ama bu eşitlik için de ayrıca bir ispat gerekecektir) buradan

$\frac{n}{(n,k)} | m$ olduğu görülür. O halde $\frac{n}{(n,k)} \leq m$'dir. Yani $\frac{n}{(n,k)}$ değeri, $(a^k)^m = 1_G$ eşitliğini sağlayan en küçük $m$ doğal sayı değeridir. Gösterdiğimiz bu iki özellikle birlikte

$|x^k| = \frac{n}{(n,k)}$ eşitliği bulunmuş olur.

Answer 2

Diyelim ki, $(n,k)=d$ olsun. O halde, $d \mid k,n \implies k=da,n=db$ öyle ki $(a,b)=1$.

Göstermek istediğimiz $\mid x^k |= \frac {n}{d}=b$.

$\mid x^k|=m$ olsun. Açıkça, $m \mid b$ çünkü $(x^k)^b=e_G$ ve $(x^k)^m$ olduğundan elimizde aşağıda yazdıklarım mevcut.

$n \mid km \implies  db \mid dam \implies b \mid m$ çünkü $(a,b)=1$.

Haliyle, $b=m$.

Demek ki, $m=\mid x^k |= \frac{n}{d}= \frac{n}{(n,k)}$