Question

$a,b\in \mathbb{R}, \ a<b$ ve $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere $$(f, \text{ sürekli})(f\geq 0)\left(\int_a^b f(x)dx=0\right)\Rightarrow f=0$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

f için herhangi tek fonksiyon seçsem. [-a,a] seçersem integralin sonucu 0 fakat fonksiyonun kendisi 0 olmuyor.Yanlış mı düşünüyorum?

---

Teoremde fonksiyonun tek olması ile ilgili bir bilgi yok. Bu durumda sen hipoteze bir bilgi daha ekleyerek yanıt vermiş oluyorsun.

---

Ben her f için sağladığını düşünmüştüm , eğer her f fonksiyonun integrali 0 çıkarsa fonksiyon 0dır.Bundan dolayı yazdım

---

Hipotezdeki $3$ koşulu sağlayan her $f$ için teoremin hükmü doğru oluyor.

---

Heh tam lineer cebir dersinde bununla bitirdim bugün, dersten çıkıp bunu görmek komik oldu.

---

Seni takip ediyorum Özgür :-)

---

$f$ sürekli, $f\geq0$ ve bir $x_0$ için $f(x_0)>0$ ise integralin pozitif olduğu gösterilebilir.

---

bu belirli integralin grafiği her zaman x ekseni üzerinde oluyor

eğer belirli integralin sonucu 0 ise demek ki fonksiyon 0dır

Answer 1

$f\neq 0$ olduğunu varsayalım.

$\left.\begin{array}{rr} (f\neq 0)(f\geq 0)\Rightarrow (\exists x_0\in [a,b])(f(x_0)>0) \\ \\ f, \text{ sürekli}\end{array}\right\}\Rightarrow$

 
$\Rightarrow (\exists \epsilon>0)(\forall x\in (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)\cap [a,b])(f(x)>0)$

 

I. Durum: $a<x_0-\epsilon<x_0+\epsilon<b$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow 0<\int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}f(x)dx \\ \\ \int_{a}^{b}f(x)dx=0\end{array}\right\}\Rightarrow 0<0  \text{ (Çelişki)}$

 

II. Durum: $x_0-\epsilon<a<x_0+\epsilon<b$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow 0<\int_{a}^{x_0+\epsilon}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}f(x)dx \\ \\ \int_{a}^{b}f(x)dx=0\end{array}\right\}\Rightarrow 0<0 \text{ (Çelişki)}$

 

III. Durum: $a<x_0-\epsilon<b<x_0+\epsilon$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow 0<\int_{x_0-\epsilon}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}f(x)dx \\ \\ \int_{a}^{b}f(x)dx=0\end{array}\right\}\Rightarrow 0<0 \text{ (Çelişki)}$

IV. Durum: $x_0-\epsilon<a<b<x_0+\epsilon$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow 0<\int_{a}^{b}f(x)dx \\ \\ \int_{a}^{b}f(x)dx=0\end{array}\right\}\Rightarrow 0<0 \text{ (Çelişki)}$