Topolojik Uzaylarda Baz-VI

Question

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{B} \subseteq \tau$ olmak üzere 

$$\mathcal{B}, \ \tau \text{ için baz}:\Leftrightarrow (\forall A\in\tau)(\exists\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})(A=\cup\mathcal{A})$$

Topolojik uzaylarda baz tanımı yukarıdaki gibi ele alındığında aşağıdaki teoremi kanıtlayınız.

Teorem: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{B},\mathcal{B}^* \subseteq 2^X$ olmak üzere 

$$(\mathcal{B}, \ \tau \text{ için baz})(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{B}^* \subseteq \tau)\Rightarrow \mathcal{B}^*, \ \tau \text{ için baz}$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

@EbruKocatepe neler düşündüğünü de yazarsan takıldığın noktayı biz de görmüş oluruz.

Answer 1

 $\mathcal{B}\subseteq\tau$ için baz ve $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{B^*}\subseteq\tau$  olsun.Amacımız her $A\in \tau$ için  $A$  kümesinin $\mathcal{B^*}$ ailesinin en az bir altailesinin birleşimi şeklinde yazılabileceğini göstermek.

 $\mathcal{B}\subseteq\tau$ ve  $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{B^*}\subseteq\tau$ olsun.

$\left.\begin{array}{r}A\in\tau \\\mathcal{B}, \ \tau \text{ için baz} \end{array}\right\} \Rightarrow \!\! \begin{array}{c} \\ \left. \begin{array}{r} (\exists\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})(A=\cup\mathcal{A}) \\ \mathcal{B}\subseteq\mathcal{B^*}\subseteq\tau\end{array} \right\} \Rightarrow (\exists \mathcal{A}\subseteq\mathcal{B^*})(A=\cup\mathcal{A}).\end{array}$