Topolojik Uzaylarda Baz-XII

Question

$\mathbb{R}$ 'de $\tau=\{A|0\notin A\}\cup \{\mathbb{R}\}$

ailesi, $\mathbb{R}$ kümesi üzerinde bir topolojidir.

Bu topoloji için bir baz yazınız.

Ben aşağıdaki şekilde buldum. Başka neler olabilir?

                                               $\mathcal{B} =\left\{\{x\}\big{|}x \in \mathbb{R}\backslash\{0\}\right\}\cup\{\mathbb{R}\}$

Answer 1

$A\in \tau$ olsun. Amacımız (baz tanımı gereği) $A$ kümesinin, $\mathcal{B}$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazılabileceğini göstermek.

• $A\in \tau$ ve $A=\mathbb{R}$ olsun.

$\mathbb{R}$ kümesini, $\mathcal{B}$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazmak kolay. $\mathcal{A}:=\{\mathbb{R}\}$ alınırsa hem $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$ hem de $\mathbb{R}=\bigcup\mathcal{A}$ olur.

• $A\in\tau$ ve $A\neq \mathbb{R}$ olsun.

Her $A\subseteq \mathbb{R}$ için $A=\bigcup\{\{x\}|x\in A\}$ olduğundan $A\in\tau$ ise $\mathcal{A}:=\{\{x\}|x\in A\}$ alınırsa hem $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$ hem de $A=\bigcup\mathcal{A}$ olur. Dolayısıyla

$\mathcal{A}:=\{\{x\}|x\in A\}\subseteq \tau$

alırsak

$A=\bigcup\{\{x\}|x\in A\}=\bigcup\mathcal{A}$

olacağından herhangi bir açık kümenin $\mathcal{B}$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazılabileceğini görmüş oluruz. O halde $\mathcal{B}$ ailesi, $\tau$ topolojisi için bir bazdır.