Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
2.2k kez görüntülendi
$$(\mathbb{R} ,U)$$  uzayında $$A={ cosx |x\epsilon[-\pi ,\pi] }$$ kümesinin kompakt olup olmadığını Heine-Borel teoremi yardımıyla; B=[1,2) aralığının kompakt olup olmadığınıda Heine Borel teoremini kullanmadan gösteriniz.

Çözüm:Öncelikle ben heine borel teoreminin bizden istediklerini yazmak istiyorum.

$$\mathbb{R}^n$$ üzerinde standar topoloji ve standart metrik var olsun. $$C\subset\mathbb{R}^n$$ alt kümesinin kompakt olması için gerek ve yeter şart C min kapalı ve sınırlı olmasıdır.

Şimdi A kümesi [-1,-1] oluyor.cosx de $$[-\pi,\pi]$$ değerlerini yerine yazınca öyle çıkıyor.Bu durumda evet küme kapalı bir küme ama sınırlı mı olmuyor?Burda emin olamadım.

B=[1,2) aralığı ise kompakt olmadığını biliyorum.Fakat bunu nasıl gösterebilirim?Yardımcı olursanız çok sevinirim.
Lisans Matematik kategorisinde (66 puan) tarafından  | 2.2k kez görüntülendi
"A kümesi [-1,-1] oluyor"

Sınırlı olup olmadığı belli değil mi?
Evet sınırlı ama bir emin olamadım.Çünkü mesela [-1,1]olsaydı direk sınırlı derdim.ama [-1,-1]olunca bir düşündürdü
Bir dakika ben de görememişim.

$A\neq[-1,-1]$

Önce  $A$ kümesini doğru olarak bulmalısın.
$$cos(-\pi)=-1$$

$$cos(\pi)=-1$$
değil mi
Yani bu fonksiyon sabit mi?
Bilmiyorum işte yani eğer [-1,-1] ise bu tek bir noktada oluyor.O zaman bu sabit mi oluyor
$\cos x$ in $[-\pi,\pi]$ aralığındaki maksimum ve minimumunu bulabilir misin?
Hayır bulunmaz çünkü tek bir nokta
$\cos0=?,\ cos \frac\pi3=?$
cos0=1 $$cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$$
ben diğer sorun için öneri veriyim, B diye belirttiğin bölüm için

heine borel teoremini kullanarak yapabilirsin
Ama soruda heine borel kullanmadan yapınız diyor
R hausdorfftur bunu kullan o zaman
İşte onları nasıl kullanacaağımı bilmiyorum
hausdorff bir topolojik uzayın kompakt alt kümeleri nasıl olur
Doğrudan kompaktlı tanımı ile zor değil.

Düzeltme "Doğudan" değl "Doğrudan"
Topolojide hiç iyi değilim.Baya zorlanıyorum uygulamakta.Ayrıca hausdorff bir topolojik uzayın kompakt alt kümeleride nasıl olur bilmiyorum
benim size sorduğum sorunun cevabını her yerde bulabilirsiniz.
20,247 soru
21,774 cevap
73,415 yorum
2,139,161 kullanıcı