Heine-Borel teoremini kanıtlayınız.

Question

Teorem (Heine-Borel): $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzay ve $A\subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere

$$A, \ \mathcal{U}\text{-kompakt}\Leftrightarrow A, \ \mathcal{U}\text{-kapalı ve sınırlı.}$$

Comments

Topolojik uzay, kompaktlık, tau'nun kapalı ve sınırlı olmasa demek, ne demek olduğunu sorabilir miyim?

---

1) Boştan farklı bir kümenin kuvvet kümesinin bir altailesine topoloji diyoruz. Ne zaman? Bu altaile (genellikle $\tau$ ile gösterilir) sonlu kesişim ve keyfi birleşime göre kapalı olduğu zaman. Küme ile birlikte ele aldığımız $(X,\tau)$ ikilisine de topolojik uzay diyoruz. 

2) Topolojinin elemanlarına $\tau$-açık küme; tümleyeni $\tau$-açık olan kümelere de $\tau$-kapaılı küme denir. 

3) Çapı sonlu olan kümelere de sınırlı küme (metrik topolojik uzaylarda söz konusu edilir) denir. 

---

yanlışssam düzeltin ifadedeki her iki topoloji de  $\mathcal{U}$ olmalı. Değilse $\tau$ nasıl tanımlı?

---

Haklısınız. Düzelttim.