Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
2.1k kez görüntülendi

Teorem (Heine-Borel): $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzay ve $A\subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere

$$A, \ \mathcal{U}\text{-kompakt}\Leftrightarrow A, \ \mathcal{U}\text{-kapalı ve sınırlı.}$$

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 2.1k kez görüntülendi

Topolojik uzay, kompaktlık, tau'nun kapalı ve sınırlı olmasa demek, ne demek olduğunu sorabilir miyim?

1) Boştan farklı bir kümenin kuvvet kümesinin bir altailesine topoloji diyoruz. Ne zaman? Bu altaile (genellikle $\tau$ ile gösterilir) sonlu kesişim ve keyfi birleşime göre kapalı olduğu zaman. Küme ile birlikte ele aldığımız $(X,\tau)$ ikilisine de topolojik uzay diyoruz. 

2) Topolojinin elemanlarına $\tau$-açık küme; tümleyeni $\tau$-açık olan kümelere de $\tau$-kapaılı küme denir. 

3) Çapı sonlu olan kümelere de sınırlı küme (metrik topolojik uzaylarda söz konusu edilir) denir. 

yanlışssam düzeltin ifadedeki her iki topoloji de  $\mathcal{U}$ olmalı. Değilse $\tau$ nasıl tanımlı?

Haklısınız. Düzelttim.

20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,048,017 kullanıcı