Heine Borel teoremi

Question

$$(\mathbb{R} ,U)$$  uzayında $$A={ cosx |x\epsilon[-\pi ,\pi] }$$ kümesinin kompakt olup olmadığını Heine-Borel teoremi yardımıyla; B=[1,2) aralığının kompakt olup olmadığınıda Heine Borel teoremini kullanmadan gösteriniz.

Çözüm:Öncelikle ben heine borel teoreminin bizden istediklerini yazmak istiyorum.

$$\mathbb{R}^n$$ üzerinde standar topoloji ve standart metrik var olsun. $$C\subset\mathbb{R}^n$$ alt kümesinin kompakt olması için gerek ve yeter şart C min kapalı ve sınırlı olmasıdır.

Şimdi A kümesi [-1,-1] oluyor.cosx de $$[-\pi,\pi]$$ değerlerini yerine yazınca öyle çıkıyor.Bu durumda evet küme kapalı bir küme ama sınırlı mı olmuyor?Burda emin olamadım.

B=[1,2) aralığı ise kompakt olmadığını biliyorum.Fakat bunu nasıl gösterebilirim?Yardımcı olursanız çok sevinirim.

Comments

"A kümesi [-1,-1] oluyor"

Sınırlı olup olmadığı belli değil mi?

---

Evet sınırlı ama bir emin olamadım.Çünkü mesela [-1,1]olsaydı direk sınırlı derdim.ama [-1,-1]olunca bir düşündürdü

---

Bir dakika ben de görememişim.

$A\neq[-1,-1]$

Önce  $A$ kümesini doğru olarak bulmalısın.

---

$$cos(-\pi)=-1$$

$$cos(\pi)=-1$$
değil mi

---

Yani bu fonksiyon sabit mi?

---

Bilmiyorum işte yani eğer [-1,-1] ise bu tek bir noktada oluyor.O zaman bu sabit mi oluyor

---

$\cos x$ in $[-\pi,\pi]$ aralığındaki maksimum ve minimumunu bulabilir misin?

---

Hayır bulunmaz çünkü tek bir nokta

---

$\cos0=?,\ cos \frac\pi3=?$

---

cos0=1 $$cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$$

---

ben diğer sorun için öneri veriyim, B diye belirttiğin bölüm için

heine borel teoremini kullanarak yapabilirsin

---

Ama soruda heine borel kullanmadan yapınız diyor

---

R hausdorfftur bunu kullan o zaman

---

İşte onları nasıl kullanacaağımı bilmiyorum

---

hausdorff bir topolojik uzayın kompakt alt kümeleri nasıl olur

---

Doğrudan kompaktlı tanımı ile zor değil.

Düzeltme "Doğudan" değl "Doğrudan"

---

Topolojide hiç iyi değilim.Baya zorlanıyorum uygulamakta.Ayrıca hausdorff bir topolojik uzayın kompakt alt kümeleride nasıl olur bilmiyorum

---

benim size sorduğum sorunun cevabını her yerde bulabilirsiniz.