Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
789 kez görüntülendi

Bir tane $A$ tanımlayalım

Teorem: $A$ , metrik uzay $(X,\tau)$'nun kompakt bir alt kümesi olsun.O halde $A$ kapalı ve sınırlıdır.

Bir nevi sorum teoremin tersi doğru mu?Ters örnek vermemiz gerektiğini düşünyorum.

Aklıma şu geldi , $X$ sonsuz bir küme olsun , ayrık uzayı göz önüne alalım , bu metriklenebilir ve Hausdorff bir uzaydır.$X$'in kendisi kapalıdır ama kompakt değildir.Nedenini de şöyle açıklayayım, $X$ sonsuz tane tek nokta kümelerinin birleşimi şeklinde yazılabilir ama sonlu tane tek nokta kümenin birleşimi ile yazılamaz çünkü en başta $X$ için sonsuz demiştik.$X$ kompakt değildir.

Metrik için de geçerli olur mu ?

Lisans Matematik kategorisinde (169 puan) tarafından  | 789 kez görüntülendi
Iki farklı nokta arasındaki mesafeyi $4$ olarak tanımladığın bir uzay düşün. Hangi iki farklı noktayı alırsan al, mesafe $4$. Her noktanın kendine uzaklığını da sıfır olarak tanımla. Bu bir metrik oluşturur mu? Evet ise açık yuvarları nelerdir, tanımladığı topoloji neye benzer? Bu soruların cevabını verebilirsen soru biter.
hocam merhaba, verdiğiniz örnek üzerinde yakın zamanda üzerine düşünücem umarım bu yorumdan sonra yapacağım yorumda size bildirim olarak gelir
hocam verdiğiniz örnek ayrık metriğin tanımına bir hayli benziyor sadece burada uzaklık 4.Bu metrik belirtir.

Ayrık topolojiyi oluşturur.Singleton set $\left\{ x\right\} $ bunun açık yuvarı olur.Ayrık topolojiyi oluşturur.
Açık yuvarlar iki türlü aslında. Yarıçapı $4$'ten küçük olan yuvarlar dediğin gibi, yarıçap $4$'ten büyükse tüm uzay geliyor. Bu uzay sınırlı, zira uzaklık $4$ ile sınırlı ama tıkız (kompakt) değil senin yukarıda yazdığın sebepten ötürü.
hocam teşekkür ederim geri dönüşünüz için

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Discrete metriği göz önüne alalım.Yarı çap 1'den küçükse tek nokta kümelerini elde ederiz , büyükse tüm uzay.Bu uzay 1 ile sınırlı ama kompakt değil.

Çünkü,X sonsuz tane tek nokta kümelerinin birleşimi şeklinde yazılabilir ama sonlu tane tek nokta kümenin birleşimi ile yazılamaz çünkü X için sonsuz olduğunu kabul ettik.
(169 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
19,117 soru
21,037 cevap
69,887 yorum
23,374 kullanıcı