Dönüşümler ve Geometriler

Question

$A \in M_2 (\mathbb{R})$ olmak üzere$\Big (e^A\Big)^*=e^{A^* }$olduğunu gösteriniz. Burada (*) ile eşlenik transpoz gösterilmektedir.

Çözüm olarak $e^A $nın kuvvet serisinden yapılır. Bir $A$ matrisinin üstel fonksiyon altındaki görüntüsünün eşleniğinin transpozu $A $ matrisinin transpozunun $e$ dönüşümü altındaki görüntüsüne eşittir. Bu yolla yapıldığını ancak nasıl bir sistem kuracağımı bilmiyorum yardımcı olursanız çok sevinirim..

Comments

Eşlenik transpoz nasil tanimlaniyor?

---

Nasıl yani bu soru için mi genel olarak mı soruyorsunuz?

---

Genel olarak, yani $A^*$ nasil tanimlaniyor.

---

$A\in o_n (K) $ ise $A^*=-A$ dır.

---

Dogru bir tanim degil gibi duruyor.

 

$A=\left(
\begin{array}{cc}
 3+2i & 2 -i\\
4 & 5-3i \\
\end{array}
\right)\implies A^*=?$

---

Kesinlikle doğru bir tanım eminim bundan. Kaynak olarak çünkü Matrix Groups for Undergraduates kullanıyoruz. Dilerseniz internetten pdfsine ulaşabilirsiniz Sayfa 87 6.13 te bu tanım yer almaktadır.

---

$A=\left(
\begin{array}{cc}
 3+2i & 2 -i\\
4 & 5-3i \\
\end{array}
\right)\implies A^*=\left(
\begin{array}{cc}
 3-2i & 4\\
2+i & 5+3i \\
\end{array}
\right)$

Ben tanimi boyle biliyorum, yani transpoz aldiktan sonra kompleks eslenik alma. Senin verdigin tanim ise sadece orijinal matriksi eksi ile carpiyor.

 

Daha genel olarak $\overline{A}$ kompleks eslenik olmak uzere $(A^*)_{ij}=\overline{A_{ji}}$ seklinde tanimlanabilir.

---

Evet ama bize öğretilen bilgi doğrultusunda size de öğrendiklerimi ilettim. Peki şu noktada soru için ne yapılabilir?

---

Böyle bir şeyi kanıtlamaya başlamadan önce ben olsam iki üç örnek yapar, o örneklerde kanıta başlamak için kullanacak bir gözlem arardım.

Mesela

$$A = \begin{bmatrix} 0&-1\\1 &0 \end{bmatrix}$$

matrisi için deneyebilir misin bu eşitliğin doğru olup olmadığını? Bu matris için $e^A$'yı hesaplayarak başlayabilir misin mesela?

---

A∈on(K)A∈on(K) ise A∗=−Adır.

Tanım olamaz.

$A\notin o_n(K)$ ise ne yapacağız?

(O yazılan doğru bu iddia )

---

Bununla ilgili olarak bir örnek var fakat asıl nokta zaten örneğin içindeki bir iddaa bu ve bunun ispatı soruluyor. O yüzden gereken bilgiler doğrultusunda ancak buraya kadar gelebildim

Answer 1

$A\in M_n(\mathbb{C})$ olmak uzere $e^{A^*}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(A^*)^k}{k!}\underset{2)}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(A^k)^*}{k!}\underset{1)}=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{A^k}{k!}\right)^*=\Big(e^A\Big)^*$

Kabul:

$1)\quad(A+B)^T=A^T+B^T$

$2)\quad(A^k)^T=(A^T)^k$

 

Duzeltme:

$A\in M_n(\mathbb{R})$ ise, $A^*=A^T$ olacagindan,

 $e^{A^T}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(A^T)^k}{k!}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(A^k)^T}{k!}=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{A^k}{k!}\right)^T=\Big(e^A\Big)^T$

Comments

Peki soruda verilen M$_2$ (R) nin bir etkisi veya buna yapılabilecek yorumu yok mudur?

---

Ben onu goz ardi etmisim. Eger matriksin elemanlari reel ise o zaman zaten $A^*=A^T$ olur.

---

Bundan dolayı cevapta bir değişiklik olur mu?

---

Soru sadece $2\times2$ matrisler icin soruyorsa kucuk bir duzeltme daha gerekli.. Cunku ben genel ispat gosterdim..

---

Rica etsem gösterir misiniz?

---

$A^*$ matrisin sadece eslenigi mi yoksa eslenik tranzpozu mu?  Cunku farkli kaynaklar farkli notasyonlar kullaniyor.

---

Yukarırda da belirttiğim gibi. Bir A matrisinin üstel fonksiyon altındaki görüntüsünün eşleniğinin transpozu A matrisinin transpozunun e dönüşümü altındaki görüntüsüne eşittir.

---

Onu da senin yapabilmen gerekir.

---

Hocam kendim yapamadığım için öğrenmeye çalışıyorum. Bilgim bununla sınırlı maalesef