Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.6k kez görüntülendi
$A \in M_2 (\mathbb{R})$ olmak üzere$\Big (e^A\Big)^*=e^{A^* }$olduğunu gösteriniz. Burada (*) ile eşlenik transpoz gösterilmektedir.

Çözüm olarak $e^A $nın kuvvet serisinden yapılır. Bir $A$ matrisinin üstel fonksiyon altındaki görüntüsünün eşleniğinin transpozu $A $ matrisinin transpozunun $e$ dönüşümü altındaki görüntüsüne eşittir. Bu yolla yapıldığını ancak nasıl bir sistem kuracağımı bilmiyorum yardımcı olursanız çok sevinirim..
Lisans Matematik kategorisinde (42 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.6k kez görüntülendi
Eşlenik transpoz nasil tanimlaniyor?
Nasıl yani bu soru için mi genel olarak mı soruyorsunuz?
Genel olarak, yani $A^*$ nasil tanimlaniyor.
$A\in o_n (K) $ ise $A^*=-A$ dır.
Dogru bir tanim degil gibi duruyor.

 

$A=\left(
\begin{array}{cc}
 3+2i & 2 -i\\
4 & 5-3i \\
\end{array}
\right)\implies A^*=?$
Kesinlikle doğru bir tanım eminim bundan. Kaynak olarak çünkü Matrix Groups for Undergraduates kullanıyoruz. Dilerseniz internetten pdfsine ulaşabilirsiniz Sayfa 87 6.13 te bu tanım yer almaktadır.
$A=\left(
\begin{array}{cc}
 3+2i & 2 -i\\
4 & 5-3i \\
\end{array}
\right)\implies A^*=\left(
\begin{array}{cc}
 3-2i & 4\\
2+i & 5+3i \\
\end{array}
\right)$

Ben tanimi boyle biliyorum, yani transpoz aldiktan sonra kompleks eslenik alma. Senin verdigin tanim ise sadece orijinal matriksi eksi ile carpiyor.

 

Daha genel olarak $\overline{A}$ kompleks eslenik olmak uzere $(A^*)_{ij}=\overline{A_{ji}}$ seklinde tanimlanabilir.
Evet ama bize öğretilen bilgi doğrultusunda size de öğrendiklerimi ilettim. Peki şu noktada soru için ne yapılabilir?
Böyle bir şeyi kanıtlamaya başlamadan önce ben olsam iki üç örnek yapar, o örneklerde kanıta başlamak için kullanacak bir gözlem arardım.

Mesela

$$A = \begin{bmatrix} 0&-1\\1 &0 \end{bmatrix}$$

matrisi için deneyebilir misin bu eşitliğin doğru olup olmadığını? Bu matris için $e^A$'yı hesaplayarak başlayabilir misin mesela?
A∈on(K)A∈on(K) ise A∗=−Adır.

Tanım olamaz.

$A\notin o_n(K)$ ise ne yapacağız?

(O yazılan doğru bu iddia )
Bununla ilgili olarak bir örnek var fakat asıl nokta zaten örneğin içindeki bir iddaa bu ve bunun ispatı soruluyor. O yüzden gereken bilgiler doğrultusunda ancak buraya kadar gelebildim

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$A\in M_n(\mathbb{C})$ olmak uzere $e^{A^*}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(A^*)^k}{k!}\underset{2)}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(A^k)^*}{k!}\underset{1)}=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{A^k}{k!}\right)^*=\Big(e^A\Big)^*$

Kabul:

$1)\quad(A+B)^T=A^T+B^T$

$2)\quad(A^k)^T=(A^T)^k$

 

Duzeltme:

$A\in M_n(\mathbb{R})$ ise, $A^*=A^T$ olacagindan,

 $e^{A^T}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(A^T)^k}{k!}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(A^k)^T}{k!}=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{A^k}{k!}\right)^T=\Big(e^A\Big)^T$
(2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Peki soruda verilen M$_2$ (R) nin bir etkisi veya buna yapılabilecek yorumu yok mudur?
Ben onu goz ardi etmisim. Eger matriksin elemanlari reel ise o zaman zaten $A^*=A^T$ olur.
Bundan dolayı cevapta bir değişiklik olur mu?
Soru sadece $2\times2$ matrisler icin soruyorsa kucuk bir duzeltme daha gerekli.. Cunku ben genel ispat gosterdim..
Rica etsem gösterir misiniz?
$A^*$ matrisin sadece eslenigi mi yoksa eslenik tranzpozu mu?  Cunku farkli kaynaklar farkli notasyonlar kullaniyor.
Yukarırda da belirttiğim gibi. Bir A matrisinin üstel fonksiyon altındaki görüntüsünün eşleniğinin transpozu A matrisinin transpozunun e dönüşümü altındaki görüntüsüne eşittir.
Onu da senin yapabilmen gerekir.
Hocam kendim yapamadığım için öğrenmeye çalışıyorum. Bilgim bununla sınırlı maalesef
20,239 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,059,300 kullanıcı