$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L$ ve $f(x)=a_{\lfloor x\rfloor}$ ise $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ olur

Question

$L\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ olsun.

$\lim_{n\to\infty}a_n=L$ ve $f(x)=a_{\lfloor x\rfloor}$ ise $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ olur.

Comments

($(a_n)$ dizisi sabit değil ise) $f(x)$ sürekli olmaz.

Sürekli fonksiyon isteyenler için:

$f(x)=(x-\lfloor x\rfloor)a_{\lfloor x\rfloor+1}+(\lfloor x\rfloor-x+1)a_{\lfloor x\rfloor}$ alırsak $f$ sürekli olur ve yine $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ olur.

(İstenirse, biraz daha uğraşıp, türevlenebilen, (hatta $C^\infty$ sınıfından ) fonksiyon da tanımlanabilir)

---

$M:=N$ seçmek yeterli olacak sanırım.

Answer 1

Her iki fonksiyon için de ,

(Her $n\in\mathbb{N}^+$ için $f(n)=a_n$ ve) her $x\in(n,n+1)$ için, $f(x),\ a_n$  ile $a_{n+1}$ arasında olur (bu sayılardan birine eşit de olabilir). 

Bu yeterlidir. Bu özelliklere  sahip her fonksiyon için iddiayı (önce $L\in\mathbb{R}$ iken) ispatlayalım:

Bir $\varepsilon>0$ verilsin. $\lim_{n\to\infty}a_n=L$ olduğu için,

Her $n\geq N$ için $|a_n-L|<\varepsilon$

olacak şekilde bir $N\in\mathbb{N}$ vardır.

(yorumdaki gibi)  $M=N$ alalım.

Her $x>M$ için $\lfloor x\rfloor\geq N$ olur. $f(x),\ a_{\lfloor x\rfloor}$ ile $a_{\lfloor x\rfloor+1}$ arasında olur.  $|a_{\lfloor x\rfloor}-L|<\varepsilon$ ve $|a_{\lfloor x\rfloor+1}-L|<\varepsilon$ olduğu için $|f(x)-L|<\varepsilon$ olur.

($L=\pm\infty$ durumu için ispat hemen hemen aynıdır.)

Comments

Aslında biraz daha genel bir şey de aynı şekilde ispatlanmış oluyor.

İkinci koşulu biraz değiştirirsek,

"$\forall n\in\mathbb{N}^+$ için $f(n)=a_n$ olması" koşulunu silebiliriz.

İkinci koşulu:

"$\forall x\geq n$ için (bir $m\geq n$ için) $f(x),\ a_n$ ile $a_{m}$ arasında (eşit de olabilir) olsun."

şeklinde değiştirdiğimizde, aynı şekilde,

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$ olduğunu ispatlamış oluruz.