Her iki fonksiyon için de ,
(Her n∈N+ için f(n)=an ve) her x∈(n,n+1) için, f(x), an ile an+1 arasında olur (bu sayılardan birine eşit de olabilir).
Bu yeterlidir. Bu özelliklere sahip her fonksiyon için iddiayı (önce L∈R iken) ispatlayalım:
Bir ε>0 verilsin. limn→∞an=L olduğu için,
Her n≥N için |an−L|<ε
olacak şekilde bir N∈N vardır.
(yorumdaki gibi) M=N alalım.
Her x>M için ⌊x⌋≥N olur. f(x), a⌊x⌋ ile a⌊x⌋+1 arasında olur. |a⌊x⌋−L|<ε ve |a⌊x⌋+1−L|<ε olduğu için |f(x)−L|<ε olur.
(L=±∞ durumu için ispat hemen hemen aynıdır.)