Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
640 kez görüntülendi

LR{±} olsun.

limnan=L ve f(x)=ax ise limxf(x)=L olur.

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 640 kez görüntülendi
((an) dizisi sabit değil ise) f(x) sürekli olmaz.
Sürekli fonksiyon isteyenler için:
f(x)=(xx)ax+1+(xx+1)ax alırsak f sürekli olur ve yine limxf(x)=L olur.

(İstenirse, biraz daha uğraşıp, türevlenebilen, (hatta C sınıfından ) fonksiyon da tanımlanabilir)

M:=N seçmek yeterli olacak sanırım.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Her iki fonksiyon için de ,

(Her nN+ için f(n)=an ve) her x(n,n+1) için, f(x), an  ile an+1 arasında olur (bu sayılardan birine eşit de olabilir). 

Bu yeterlidir. Bu özelliklere  sahip her fonksiyon için iddiayı (önce LR iken) ispatlayalım:

Bir ε>0 verilsin. limnan=L olduğu için,

Her nN için |anL|<ε

olacak şekilde bir NN vardır.

(yorumdaki gibi)  M=N alalım.

Her x>M için xN olur. f(x), ax ile ax+1 arasında olur.  |axL|<ε ve |ax+1L|<ε olduğu için |f(x)L|<ε olur.

(L=± durumu için ispat hemen hemen aynıdır.)

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Aslında biraz daha genel bir şey de aynı şekilde ispatlanmış oluyor.

İkinci koşulu biraz değiştirirsek,

"nN+ için f(n)=an olması" koşulunu silebiliriz.

İkinci koşulu:

"xn için (bir mn için) f(x), an ile am arasında (eşit de olabilir) olsun."

şeklinde değiştirdiğimizde, aynı şekilde,

limx+f(x)=L olduğunu ispatlamış oluruz.
Doğal sayılarda belirtilen değerleri alan analitik fonksiyon var mıdır?
20,299 soru
21,847 cevap
73,552 yorum
2,759,792 kullanıcı