Doğrusal indirgemeli dizi verildiğinden bu dizinin genel terimi a_n = A(x_1)^n + B(x_2)^n + C(x_3)^n formundadır. Buradaki A, B, C değerleri a_1, a_2, a_3 başlangıç değerleri yardımıyla hesaplanabilir. Öte taraftan, 8x^3 - 6x - 1=0 karakteristik denkleminin kökleri olan x_1, x_2, x_3 değerlerinin tamamının irrasyonel olduğunu görmek zor değildir. Önce rasyonel kök teoreminden faydalanıp hiç rasyonel kökü olmadığını gösteririz. Sonra, Bolzano (ara değer) teoreminden (-1,-\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, 0), (0,1) aralıklarında gerçel kökler olduğunu gösteririz. (Soruda rasyonellikten bahsedildiği için bu irrasyonel olduğunu gösterme aşamalarını yapma gereği duydum ama çözümü bitirince pek ihtiyaç kalmadığını gördüm.) x_3 \approx 0,9 , x_2 \approx -0,1 ve x_1 \approx - 0,7 yaklaşık hesaplamalarını yapmakta fayda var. Bunlar nümerik yollarla hesaplanabilir ama ben wolfram'a yaptırdım. Kağıt kalemle hesaplamak da zor değildir. 1>x_3 > |x_1| > |x_2| >0 dır. Şimdi
\lim_{k \to \infty} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k \to \infty} \dfrac{A(x_1)^{k+1} + B(x_2)^{k+1} + C(x_3)^{k+1}}{A(x_1)^k + B(x_2)^k + C(x_3)^k}
olup bu limitte belirleyici terimler C(x_3)^{k+1} ve C(x_3)^{k} olduğundan
\lim_{k \to \infty} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k \to \infty} \dfrac{C(x_3)^{k+1} }{ C(x_3)^{k}} = x_3
olur. Bu \lim_{k \to \infty} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = x_3 sonucu başlangıç değerleri olan a_1, a_2, a_3'ten bağımsızdır. Ayrıca x_2 \neq x_3 olduğundan \lim_{k \to \infty} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = x_2 olması mümkün değildir. Eğer A=C=0 ise bu durumda da genel terim a_n = B(x_2)^n olacaktır. x_2 irrasyonel olduğundan a_1, a_2, a_3'ün rasyonel olması mümkün değildir. Çünkü a_1=Bx_2 ve a_2=B(x_2)^2 oranlanırsa \dfrac{a_2}{a_1}=x_2 nin rasyonel olduğu çelişkisi çıkar. (Soruda hata olduğunu düşünüyorum. Ya da ben çok kötü bir hata yapıyorumdur ama göremedim.)