Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
550 kez görüntülendi
İndirgemeli dizimiz 8an+36an+1an=0 olsun. Bu indirgemeli dizinin karakteristik polinomu 8x36x1=0 dır ve bu polinomun kökleri x1<x2<x3 olmak üzere öyle bir a1 , a2 , a3 Q başlangıç terimleri bulalım ki limkak+1ak=x2 olsun.Bu başlangıç değerleri nelerdir ?
Lisans Matematik kategorisinde (881 puan) tarafından  | 550 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Doğrusal indirgemeli dizi verildiğinden bu dizinin genel terimi an=A(x1)n+B(x2)n+C(x3)n formundadır. Buradaki A,B,C değerleri a1,a2,a3 başlangıç değerleri yardımıyla hesaplanabilir. Öte taraftan, 8x36x1=0 karakteristik denkleminin kökleri olan x1,x2,x3 değerlerinin tamamının irrasyonel olduğunu görmek zor değildir. Önce rasyonel kök teoreminden faydalanıp hiç rasyonel kökü olmadığını gösteririz. Sonra, Bolzano (ara değer) teoreminden (1,12),(12,0),(0,1) aralıklarında gerçel kökler olduğunu gösteririz. (Soruda rasyonellikten bahsedildiği için bu irrasyonel olduğunu gösterme aşamalarını yapma gereği duydum ama çözümü bitirince pek ihtiyaç kalmadığını gördüm.) x30,9,  x20,1 ve x10,7 yaklaşık hesaplamalarını yapmakta fayda var. Bunlar nümerik yollarla hesaplanabilir ama ben wolfram'a yaptırdım. Kağıt kalemle hesaplamak da zor değildir. 1>x3>|x1|>|x2|>0 dır. Şimdi

limkak+1ak=limkA(x1)k+1+B(x2)k+1+C(x3)k+1A(x1)k+B(x2)k+C(x3)k

olup bu limitte belirleyici terimler C(x3)k+1 ve C(x3)k olduğundan

limkak+1ak=limkC(x3)k+1C(x3)k=x3

olur. Bu limkak+1ak=x3 sonucu başlangıç değerleri olan a1,a2,a3'ten bağımsızdır. Ayrıca x2x3 olduğundan limkak+1ak=x2 olması mümkün değildir. Eğer A=C=0 ise bu durumda da genel terim an=B(x2)n olacaktır. x2 irrasyonel olduğundan a1,a2,a3'ün rasyonel olması mümkün değildir. Çünkü a1=Bx2 ve a2=B(x2)2 oranlanırsa a2a1=x2 nin rasyonel olduğu çelişkisi çıkar. (Soruda hata olduğunu düşünüyorum. Ya da ben çok kötü bir hata yapıyorumdur ama göremedim.)
(2.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,957 kullanıcı