Processing math: 0%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
552 kez görüntülendi
İndirgemeli dizimiz 8a_{n+3}-6a_{n+1}-a_n=0 olsun. Bu indirgemeli dizinin karakteristik polinomu 8x^3-6x-1=0 dır ve bu polinomun kökleri x_1<x_2<x_3 olmak üzere öyle bir a_1 , a_2 , a_3 \in \mathbb{Q} başlangıç terimleri bulalım ki \lim_{k \to \infty} \dfrac {a_{k+1}} {a_k}=x_2 olsun.Bu başlangıç değerleri nelerdir ?
Lisans Matematik kategorisinde (881 puan) tarafından  | 552 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Doğrusal indirgemeli dizi verildiğinden bu dizinin genel terimi a_n = A(x_1)^n + B(x_2)^n + C(x_3)^n formundadır. Buradaki A, B, C değerleri a_1, a_2, a_3 başlangıç değerleri yardımıyla hesaplanabilir. Öte taraftan, 8x^3 - 6x - 1=0 karakteristik denkleminin kökleri olan x_1, x_2, x_3 değerlerinin tamamının irrasyonel olduğunu görmek zor değildir. Önce rasyonel kök teoreminden faydalanıp hiç rasyonel kökü olmadığını gösteririz. Sonra, Bolzano (ara değer) teoreminden (-1,-\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, 0), (0,1) aralıklarında gerçel kökler olduğunu gösteririz. (Soruda rasyonellikten bahsedildiği için bu irrasyonel olduğunu gösterme aşamalarını yapma gereği duydum ama çözümü bitirince pek ihtiyaç kalmadığını gördüm.) x_3 \approx 0,9 ,  x_2 \approx -0,1 ve x_1 \approx - 0,7 yaklaşık hesaplamalarını yapmakta fayda var. Bunlar nümerik yollarla hesaplanabilir ama ben wolfram'a yaptırdım. Kağıt kalemle hesaplamak da zor değildir. 1>x_3 > |x_1| > |x_2| >0 dır. Şimdi

 \lim_{k \to \infty} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k \to \infty} \dfrac{A(x_1)^{k+1} + B(x_2)^{k+1} + C(x_3)^{k+1}}{A(x_1)^k + B(x_2)^k + C(x_3)^k}

olup bu limitte belirleyici terimler C(x_3)^{k+1} ve C(x_3)^{k} olduğundan

 \lim_{k \to \infty} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k \to \infty} \dfrac{C(x_3)^{k+1} }{ C(x_3)^{k}} = x_3

olur. Bu \lim_{k \to \infty} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = x_3 sonucu başlangıç değerleri olan a_1, a_2, a_3'ten bağımsızdır. Ayrıca x_2 \neq x_3 olduğundan \lim_{k \to \infty} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = x_2 olması mümkün değildir. Eğer A=C=0 ise bu durumda da genel terim a_n = B(x_2)^n olacaktır. x_2 irrasyonel olduğundan a_1, a_2, a_3'ün rasyonel olması mümkün değildir. Çünkü a_1=Bx_2 ve a_2=B(x_2)^2 oranlanırsa \dfrac{a_2}{a_1}=x_2 nin rasyonel olduğu çelişkisi çıkar. (Soruda hata olduğunu düşünüyorum. Ya da ben çok kötü bir hata yapıyorumdur ama göremedim.)
(2.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,297 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,727,007 kullanıcı