Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
378 kez görüntülendi
İndirgemeli dizimiz $8a_{n+3}-6a_{n+1}-a_n=0$ olsun. Bu indirgemeli dizinin karakteristik polinomu $8x^3-6x-1=0$ dır ve bu polinomun kökleri $x_1<x_2<x_3$ olmak üzere öyle bir $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ $\in \mathbb{Q}$ başlangıç terimleri bulalım ki $\lim_{k \to \infty} \dfrac {a_{k+1}} {a_k}=x_2$ olsun.Bu başlangıç değerleri nelerdir ?
Lisans Matematik kategorisinde (881 puan) tarafından  | 378 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Doğrusal indirgemeli dizi verildiğinden bu dizinin genel terimi $a_n = A(x_1)^n + B(x_2)^n + C(x_3)^n$ formundadır. Buradaki $A, B, C$ değerleri $a_1, a_2, a_3$ başlangıç değerleri yardımıyla hesaplanabilir. Öte taraftan, $8x^3 - 6x - 1=0$ karakteristik denkleminin kökleri olan $x_1, x_2, x_3$ değerlerinin tamamının irrasyonel olduğunu görmek zor değildir. Önce rasyonel kök teoreminden faydalanıp hiç rasyonel kökü olmadığını gösteririz. Sonra, Bolzano (ara değer) teoreminden $(-1,-\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, 0), (0,1)$ aralıklarında gerçel kökler olduğunu gösteririz. (Soruda rasyonellikten bahsedildiği için bu irrasyonel olduğunu gösterme aşamalarını yapma gereği duydum ama çözümü bitirince pek ihtiyaç kalmadığını gördüm.) $x_3 \approx 0,9 $,  $x_2 \approx -0,1 $ ve $x_1 \approx - 0,7 $ yaklaşık hesaplamalarını yapmakta fayda var. Bunlar nümerik yollarla hesaplanabilir ama ben wolfram'a yaptırdım. Kağıt kalemle hesaplamak da zor değildir. $1>x_3 > |x_1| > |x_2| >0$ dır. Şimdi

$$  \lim_{k \to \infty} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k \to \infty} \dfrac{A(x_1)^{k+1} + B(x_2)^{k+1} + C(x_3)^{k+1}}{A(x_1)^k + B(x_2)^k + C(x_3)^k} $$

olup bu limitte belirleyici terimler $C(x_3)^{k+1}$ ve $C(x_3)^{k}$ olduğundan

$$  \lim_{k \to \infty} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k \to \infty} \dfrac{C(x_3)^{k+1} }{ C(x_3)^{k}} = x_3$$

olur. Bu $\lim_{k \to \infty} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = x_3$ sonucu başlangıç değerleri olan $a_1, a_2, a_3$'ten bağımsızdır. Ayrıca $x_2 \neq x_3$ olduğundan $\lim_{k \to \infty} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = x_2$ olması mümkün değildir. Eğer $A=C=0$ ise bu durumda da genel terim $a_n = B(x_2)^n$ olacaktır. $x_2$ irrasyonel olduğundan $a_1, a_2, a_3$'ün rasyonel olması mümkün değildir. Çünkü $a_1=Bx_2$ ve $a_2=B(x_2)^2$ oranlanırsa $\dfrac{a_2}{a_1}=x_2$ nin rasyonel olduğu çelişkisi çıkar. (Soruda hata olduğunu düşünüyorum. Ya da ben çok kötü bir hata yapıyorumdur ama göremedim.)
(2.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,219 soru
21,752 cevap
73,354 yorum
1,988,188 kullanıcı