Doğrusal indirgemeli dizi verildiğinden bu dizinin genel terimi an=A(x1)n+B(x2)n+C(x3)n formundadır. Buradaki A,B,C değerleri a1,a2,a3 başlangıç değerleri yardımıyla hesaplanabilir. Öte taraftan, 8x3−6x−1=0 karakteristik denkleminin kökleri olan x1,x2,x3 değerlerinin tamamının irrasyonel olduğunu görmek zor değildir. Önce rasyonel kök teoreminden faydalanıp hiç rasyonel kökü olmadığını gösteririz. Sonra, Bolzano (ara değer) teoreminden (−1,−12),(−12,0),(0,1) aralıklarında gerçel kökler olduğunu gösteririz. (Soruda rasyonellikten bahsedildiği için bu irrasyonel olduğunu gösterme aşamalarını yapma gereği duydum ama çözümü bitirince pek ihtiyaç kalmadığını gördüm.) x3≈0,9, x2≈−0,1 ve x1≈−0,7 yaklaşık hesaplamalarını yapmakta fayda var. Bunlar nümerik yollarla hesaplanabilir ama ben wolfram'a yaptırdım. Kağıt kalemle hesaplamak da zor değildir. 1>x3>|x1|>|x2|>0 dır. Şimdi
limk→∞ak+1ak=limk→∞A(x1)k+1+B(x2)k+1+C(x3)k+1A(x1)k+B(x2)k+C(x3)k
olup bu limitte belirleyici terimler C(x3)k+1 ve C(x3)k olduğundan
limk→∞ak+1ak=limk→∞C(x3)k+1C(x3)k=x3
olur. Bu limk→∞ak+1ak=x3 sonucu başlangıç değerleri olan a1,a2,a3'ten bağımsızdır. Ayrıca x2≠x3 olduğundan limk→∞ak+1ak=x2 olması mümkün değildir. Eğer A=C=0 ise bu durumda da genel terim an=B(x2)n olacaktır. x2 irrasyonel olduğundan a1,a2,a3'ün rasyonel olması mümkün değildir. Çünkü a1=Bx2 ve a2=B(x2)2 oranlanırsa a2a1=x2 nin rasyonel olduğu çelişkisi çıkar. (Soruda hata olduğunu düşünüyorum. Ya da ben çok kötü bir hata yapıyorumdur ama göremedim.)