Processing math: 0%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{n}{1+n^2}+\dfrac{n}{4+n^2}+\dots+\dfrac{n}{n^2+n^2}\right)=?

ÇÖZÜMÜ İLE BERABER ATTIM DEDİĞİM GİBİ LİMİTİNİ ALDIM DAHA DOĞRUSU ALMAYA ÇALIŞTIM

 

Lisans Matematik kategorisinde (31 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.1k kez görüntülendi
Sorunuz suna denk \underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\displaystyle\sum _{k=1}^n \frac{n}{k^2+n^2}\right)
0=0+\cdots+0=\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n})=\lim_{n\rightarrow \infty}1=1?
Okkes'in denkliğini biraz ilerletirsek
Sorunuz suna denk \underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\displaystyle\frac1n\sum _{k=1}^n \frac{1}{(k/n)^2+1}\right)
Bunu integral ile bağdaştırmayı deneyebilirsin.
@Sercan ben de onu yazacaktim simdi.. arctan(x) li birseyler seziyorum :)

Guzel soru bu arada..
Sitede bunlardan epey olmalı ama yanda göstermiyor.
Muhtemelen Adams, Stewart ya da türevleri olan kitaplarda direkt bu soru vardır.
f fonsiyonu [a,b] araliginda surekli bir fonksiyon, \Delta x=\dfrac{b-a}{n} ve P=\{a,a+\Delta x,a+2\Delta x,\dots,a+i\Delta x,\dots,a+n\Delta x=b\} ise  [a,b] araliginin bolunusu olsun. O zaman

 

 \text{Sag Riemann Toplami}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum _{i=1}^nf\left(a+i\Delta x\right)\Delta x=\int_a^bf(x)dx=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i\Delta x\right)\Delta x=\text{Sol Riemann Toplami}

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Yorumda belirtildigi gibi

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum _{i=1}^nf\left(a+i\Delta x\right)\Delta x=\int_a^bf(x)dx olur.

a=0 ve b=1 alirsak. \Delta=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac1n   ve

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum _{i=1}^nf\left(\dfrac in\right)=\int_0^1f(x)dx

 

Dizimiz su oldugundan \underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\displaystyle\frac1n\sum _{i=1}^n \frac{1}{(i/n)^2+1}\right),       f(x)=\dfrac{1}{x^2+1} almak mantikli

 

\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\displaystyle\frac1n\sum _{i=1}^n \frac{1}{(i/n)^2+1}\right)=\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{x^2+1} =\arctan(x)\Big|_0^1=)\dfrac{\pi}{4}
(2.9k puan) tarafından 
20,299 soru
21,845 cevap
73,549 yorum
2,757,334 kullanıcı