Question

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{n}{1+n^2}+\dfrac{n}{4+n^2}+\dots+\dfrac{n}{n^2+n^2}\right)=?$

ÇÖZÜMÜ İLE BERABER ATTIM DEDİĞİM GİBİ LİMİTİNİ ALDIM DAHA DOĞRUSU ALMAYA ÇALIŞTIM

 

Comments

Sorunuz suna denk $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\displaystyle\sum _{k=1}^n \frac{n}{k^2+n^2}\right)$

---

$0=0+\cdots+0=\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n})=\lim_{n\rightarrow \infty}1=1$?

---

Okkes'in denkliğini biraz ilerletirsek
Sorunuz suna denk $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\displaystyle\frac1n\sum _{k=1}^n \frac{1}{(k/n)^2+1}\right)$
Bunu integral ile bağdaştırmayı deneyebilirsin.

---

@Sercan ben de onu yazacaktim simdi.. arctan(x) li birseyler seziyorum :)

Guzel soru bu arada..

---

Sitede bunlardan epey olmalı ama yanda göstermiyor.

---

Muhtemelen Adams, Stewart ya da türevleri olan kitaplarda direkt bu soru vardır.

---

$f$ fonsiyonu $[a,b]$ araliginda surekli bir fonksiyon, $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ ve $P=\{a,a+\Delta x,a+2\Delta x,\dots,a+i\Delta x,\dots,a+n\Delta x=b\}$ ise  $[a,b]$ araliginin bolunusu olsun. O zaman

 

 $\text{Sag Riemann Toplami}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum _{i=1}^nf\left(a+i\Delta x\right)\Delta x=\int_a^bf(x)dx=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i\Delta x\right)\Delta x=\text{Sol Riemann Toplami}$

Answer 1

Yorumda belirtildigi gibi

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum _{i=1}^nf\left(a+i\Delta x\right)\Delta x=\int_a^bf(x)dx$ olur.

$a=0$ ve $b=1$ alirsak. $\Delta=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac1n$   ve

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum _{i=1}^nf\left(\dfrac in\right)=\int_0^1f(x)dx$

 

Dizimiz su oldugundan $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\displaystyle\frac1n\sum _{i=1}^n \frac{1}{(i/n)^2+1}\right), $       $f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$ almak mantikli

 

$\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\displaystyle\frac1n\sum _{i=1}^n \frac{1}{(i/n)^2+1}\right)=\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{x^2+1} =\arctan(x)\Big|_0^1=)\dfrac{\pi}{4}$