Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
228 kez görüntülendi

Soru : $K$ tek doğal sayı ; $t\in \{1,...K\}$ olmak üzere.

$A_n : \mathbf{N}\to \mathbf{N} ,A_0 = t ; A_n = \left\lceil \frac{A_{n-1} + K}{3}\right\rceil$ limiti neydır?

Ben  $A_n \to \lceil \frac{K}{2} \rceil = \frac{K+1}{2}$ olacağını hisettim.

Not: $x\in \mathbf{R}$ olsun o zaman $\lceil x\rceil = k \in \mathbf{N} \Leftrightarrow k-1 < x \leq k $

 

Diziye iyi anlaşılsın diye örnek verelim :

Örnek : $K =7 ,t = 2$ alalim.
$A_0 = 2 $ ; 
$A_1 = \lceil\frac{A_0 + k}{3}\rceil =\lceil \frac{2 + 7}{3}\rceil = 3 $
daha sonra $A_2 = A_3 = ... A_n (n> 2) = 4 $ olur.

Bunu $K$ yı ne alırsam ,  $t$ yi de $K$ dan küçük alırsam beli bir terimden sonra hep ayni sayı gelmeye devam eder ve $\frac{K+1}{2}$ dır.

Bilgisarda terımlerı hesaplamak için bir program yaptım ve yeterıne kadar $K$ yi büyük alıyorum yine desteklenıyor... yazdığım programı etkedı..

import math
from math import*

#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# Hattayı çözmek için

jeu=True
while jeu:
    K=input("bir tek sayı giriniz" 
                      "\nseçtığınız sayı : ")
    K=int(K)
    if K % 2 == 1 :
        print("\nK:=",K)
        jeu=False
    else:
        print("lütfen uygun bir sayı gırınız")
        continue
        

gam=True
while gam:
    t=input("K'den küçük yada eşıt bir sayı giriniz" 
                      "\nseçtığınız sayı : ")
    t=int(t)
    if t <= K :
        print("\nK:=",K)
        print("t:=",t,"\n")
        gam=False
    else:
        print("lütfen uygun bir sayı gırınız")
        continue
        
#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# Diziyi oluşturmayi
        
y=t
n=2*K
print("A_0 = ",y)
i=1
while(i<=n):
    x=y
    y=ceil((x+K)/3)
    print("A_{} =".format(i),y)
    i+=1

#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
""" 
out :
bir tek sayı giriniz
seçtığınız sayı : 7

K:= 7
K'den küçük yada eşıt bir sayı giriniz
seçtığınız sayı : 6

K:= 7
t:= 6 

A_0 =  6
A_1 = 5
A_2 = 4
A_3 = 4
A_4 = 4
A_5 = 4
A_6 = 4
A_7 = 4
A_8 = 4
A_9 = 4
A_10 = 4
A_11 = 4
A_12 = 4
A_13 = 4
A_14 = 4   """

Programında $K$ yine 7 alıp bu sefer $t=6$ aldım... sizde python varsa deneyebilirsiniz $K$ çok büyük da alarak kendınıze göreceksınız.

Lisans Matematik kategorisinde (148 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 228 kez görüntülendi
$ A_n\rightarrow \lceil \frac{ K}{2}\rceil=\frac{K+1}2$ demek istedin herhalde.

Monoton Yakınsaklık Teoremini kullanmayı denedn mi?
Dediğiniz gibi monoton yakınsaklık teoremi kulandım . bildiğim kadar ila o teoremi sadece yakınsaklığı söyler. bunu zaten görmuştum.. benım istediğimi limiti bulmak ve $A_n \to \frac{k+1}{2} $ doğru ise nasil kanıtlayabilirim ?
Önce :

$x_0=t,\ x_{n+1}=\frac{x_n+K}3$ dizisinin yakınsak olduğunu gösterip limitini bulabilir misin?

Daha sonra $\lceil\ \rceil$ eklemeyi düşünürüz.

Hocam Bunu böyle şeklinde yapmiştım fakat bekledığım çıkmadı nerde yanlış yaptığımı söylebilir mısınız
$x_0 = t , x_{n}  = \frac{x_{n-1} + K}{3} $ olsun

$x_1 = \frac{t+K}{3}=\frac{t}{3} +\frac{K}{3}$

$x_2 = \frac{t+K+3K}{9}=\frac{t}{9} +\frac{K}{9}+\frac{K}{3}$

...

$x_n = \frac{t}{3^n}+\frac{K}{3^n}+\frac{K}{3^{n-1}}+... +\frac{K}{3}=\frac{t+K}{3^n} + \sum ^{n }_{s=1}K(\frac{1}{3})^{s-1}$.

böylece $\lim_{n\to \infty}x_n = \lim_{n\to \infty}\sum ^{n }_{s=1}K(\frac{1}{3})^{s-1} = \frac{K}{1-\frac{1}{3}} = \frac{3K}{2}$

Fakat terımlerı hesaplamaya kalkarsam limiti $\frac{K}{2}$ buluyorum Bu kodu yardımıyla

import math
from math import*

#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# Hattayı çözmek için

jeu=True
while jeu:
    K=input("bir tek sayı giriniz" 
                      "\nseçtığınız sayı : ")
    K=int(K)
    if K % 2 == 1 :
        print("\nK:=",K)
        jeu=False
    else:
        print("lütfen uygun bir sayı gırınız")
        continue
        

gam=True
while gam:
    t=input("K'den küçük yada eşıt bir sayı giriniz" 
                      "\nseçtığınız sayı : ")
    t=int(t)
    if t <= K :
        print("\nK:=",K)
        print("t:=",t,"\n")
        gam=False
    else:
        print("lütfen uygun bir sayı gırınız")
        continue
        
#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# Diziyi oluşturmayi
        
y=t
n=35
print("A_0 = ",y)
i=1
while(i<=n):
    x=y
    y=(x+K)/3
    print("A_{} =".format(i),y)
    i+=1
#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

"""
OUT :
bir tek sayı giriniz
seçtığınız sayı : 5

K:= 5
K'den küçük yada eşıt bir sayı giriniz
seçtığınız sayı : 3

K:= 5
t:= 3 

A_0 =  3
A_1 = 2.6666666666666665
A_2 = 2.5555555555555554
A_3 = 2.5185185185185186
A_4 = 2.506172839506173
A_5 = 2.502057613168724
A_6 = 2.500685871056241
A_7 = 2.500228623685414
A_8 = 2.500076207895138
A_9 = 2.5000254026317124
A_10 = 2.500008467543904
A_11 = 2.5000028225146345
A_12 = 2.5000009408382113
A_13 = 2.500000313612737
A_14 = 2.500000104537579
A_15 = 2.5000000348458595
A_16 = 2.5000000116152865
A_17 = 2.500000003871762
A_18 = 2.500000001290587
A_19 = 2.500000000430196
A_20 = 2.5000000001433986
A_21 = 2.5000000000477995
A_22 = 2.5000000000159335
A_23 = 2.5000000000053113
A_24 = 2.5000000000017706
A_25 = 2.50000000000059
A_26 = 2.5000000000001967
A_27 = 2.5000000000000657
A_28 = 2.5000000000000218
A_29 = 2.500000000000007
A_30 = 2.500000000000002
A_31 = 2.5000000000000004
A_32 = 2.5
A_33 = 2.5
A_34 = 2.5
A_35 = 2.5
"""

Nerede Kaçırıyorum ?

$x_n = \frac{t}{3^n}+\frac{K}{3^n}+\frac{K}{3^{n-1}}+... +\frac{K}{3}=\frac{t+K}{3^n} + \sum ^{n }_{s=1}K(\frac{1}{3})^{s-1}$. son kısım hatalı.

$x_n = \frac{t}{3^n}+\frac{K}{3^n}+\frac{K}{3^{n-1}}+... +\frac{K}{3}=\frac{t+K}{3^n} + \sum ^{n-1 }_{s=1}K(\frac{1}{3})^{s}$.

$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\frac K2$ olur.
Tam olarak hattamı göremedım hala ; $\lim_{n\to\infty} \sum ^{n }_{s=1}K(\frac{1}{3})^{s-1} =\lim_{x\to\infty} \sum ^{n-1 }_{s=1}K(\frac{1}{3})^{s} = \frac{K}{2} $ mi çıkıyor ?
$\sum_{s=1}^nK(\frac13)^{s-1}$ değil.

$\sum_{s=2}^nK(\frac13)^{s-1}=\sum_{s=1}^{n-1}K(\frac13)^{s}$
Anladım Hocam yine bunu biraz basitti ama diğer yani $\lceil \ \rceil$ ekleyınce bambaşka birşey olur ... aynı mantiği kulanamiyorum
$n = \lceil\frac{n}{3}\rceil + \lceil\frac{n-1}{3}\rceil + \lceil\frac{n-2}{3}\rceil$

kullansan
Bu güzel bir özelık fakat işimi zorlaştırıyor biraz da belki bir şey kaçırıyorum... yine bakarım...
bu ozellikle degil ama baska bir ozellikle buldum sanirim

$n = \lceil \frac{n}{2} \rceil + \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ bagintisini aklimizda tutalim.

$A_n = \frac{2A_{n-1}+K}{3}$

$A_n^\uparrow = \lceil \frac{A_{n-1}^\uparrow+K}{3} \rceil$

$A_n^\downarrow = \lfloor \frac{A_{n-1}^\downarrow+K}{3} \rfloor$

olsun.

Yukaridaki bagintiyi kullanarak diyebiliriz ki

$A_n = A_n^\uparrow + A_n^\downarrow$

$A_n$ in limiti yanilmiyorsam $K$ olmali.

sanirim (buradan cok emin degilim)

$A_n^\uparrow = 1+A_n^\downarrow$

butun bunlari birlestirince sonuc geliyor olmali bir sekilde
$K$ cift olunca ne oluyor acaba
Hocam limiti $K$ olmuyor... progarm yardımıyla hesapladık hep $\frac{K+1}{2}$ gelior. bir $A_n^\uparrow$ derken ne demek istiyorsunuz... $A_n = \frac{2A_{n-1}+K}{3} ;$ $2$ yi nerden geldi?? bizim $A_n =  \frac{A_{n-1} + K}{3}$ olmasi gerekiyor.
ya evet yanlis yapmisim aklimdaki fikir suydu
$n = \lceil \frac{n}{2}\rceil + \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$

bagintisinda $\lceil \frac{n}{2}\rceil $ in icini bizim elimizdeki diziye benzetmeye calistim.

$A_n = 2 \frac{A_{n-1}+K}{3}$ olmaliydi. ama sanirim yanlis yol bu da yarin sabah salim kafayla yeniden bakacagim
Tamam Hocam.. bu arada K çıft olduğundan çok ilgiinç olur.aslında $\frac{K}{2}$ yakınsar.fakat benım burda K çıft almak demek çıft sayıda kart almaktır; diyelim ki 8 kart aldım yani K=8 burda seyrıcın kartı beli bir zamandan sonra yine 4 .sira da olacağını biliyorum fakat üsten alta doğru olan 4 du mu altan ustana.

Böylece t duruma göre değişiyor fakat ilk olrak t yi seçen seyrıcıydı bana söylemiyecek. Dolasıyla bu ilizyonu yaparken hep tek sayıda kart almalısın ki oyuncunun seçtığı kart bu dizi yardımıyla ortalayıp bulabilirsin. ben oyunu genışlenmek amacıyla bu dızıyı ıhtayaç duydum.

Ya calisiyor soyledigim yontem ama neden ve nasil calisiyor anlamadim yeniden anlatiyim ne yaptigimi:
$n \in \mathbb{N}$ icin $2n = \lceil n \rceil + \lfloor n \rfloor $ ifadesi dogru.

$A_n = \frac{A_{n-1}+K}{3}$ serisinin $K/2$ yakinsadigini biliyoruz.

$ 2 \lim_{n\to\infty} A_n  = K$ dogal sayi oldigi icin

$ 2K = \lceil K \rceil + \lfloor K \rfloor$ diyebilirim galiba

$l = \lceil A \rceil$ diyelim o zaman $l-1 = \lfloor A\rfloor $

yani

$l =\frac{K+1}{2}$

 

peki simdi sorum deneysel olarak sonuca esit olsa da bu yontemle buldugum sonuc. Bu sonuc neden dogru ? cunku hicbir $A_n$ icin $2A_n = \lceil A_n \rceil + \lfloor A_n \rfloor$ dogru degil.

Isin diger bir ilginc tarafi bu kardes serilerin $A_n$ in yakinsama hizindan daha hizli yakinsamasi en azindan deneysel olarak.

asagida sonuclarimi paylasiyorum

 

julia> f(n,k,t) = n == 0 ? t : ceil((f(n-1,k,t) + k)/3)
f (generic function with 2 methods)

julia> g(n,k,t) = n == 0 ? t : floor((g(n-1,k,t) + k)/3)
g (generic function with 1 method)

julia> h(n,k,t) = n == 0 ? t : 2*( h(n-1,k,t) + k) /3
h (generic function with 1 method)

julia> deneme(n,k,t)=f(n,k,t),g(n,k,t),h(n,k,t)
deneme (generic function with 2 methods)

julia> deneme.(0:30,503,1)
31-element Array{Tuple{Real,Real,Real},1}:
 (1, 1, 1)
 (168.0, 168.0, 336.0)
 (224.0, 223.0, 559.3333333333334)
 (243.0, 242.0, 708.2222222222223)
 (249.0, 248.0, 807.4814814814814)
 (251.0, 250.0, 873.6543209876542)
 (252.0, 251.0, 917.7695473251027)
 (252.0, 251.0, 947.1796982167352)
 (252.0, 251.0, 966.7864654778235)
 (252.0, 251.0, 979.8576436518824)
 (252.0, 251.0, 988.5717624345883)
 (252.0, 251.0, 994.3811749563923)
 (252.0, 251.0, 998.254116637595)
 (252.0, 251.0, 1000.8360777583966)
 (252.0, 251.0, 1002.5573851722644)
 (252.0, 251.0, 1003.7049234481761)
 (252.0, 251.0, 1004.4699489654507)
 (252.0, 251.0, 1004.9799659769673)
 (252.0, 251.0, 1005.3199773179782)
 (252.0, 251.0, 1005.5466515453187)
 (252.0, 251.0, 1005.697767696879)
 (252.0, 251.0, 1005.7985117979193)
 (252.0, 251.0, 1005.8656745319462)
 (252.0, 251.0, 1005.9104496879642)
 (252.0, 251.0, 1005.940299791976)
 (252.0, 251.0, 1005.9601998613174)
 (252.0, 251.0, 1005.9734665742117)
 (252.0, 251.0, 1005.9823110494744)
 (252.0, 251.0, 1005.9882073663163)
 (252.0, 251.0, 1005.9921382442108)
 (252.0, 251.0, 1005.9947588294739)

 

evet Hocam $A_n$ den  çok hizliler hatta beli bir aralıktan sonra yakınsamaya başlar .

Doğru olmaz çünkü $A_n$ doğal sayı değil yani her n için doğal sayı olmaz.. yazdığın de sade n doğal sayı iken geçerli...
orda $l = \lceil A \rceil$ derken A ne ? dızının lımıtı mı?

Birde söyle bir gözlem yaptım :

$  x_0 = t ; x_n = \left\lceil \frac{x_{n-1} + K}{3}\right\rceil $

$x_n$ nin derecesi $o(x_n)$ şöyle şeklinde tanımlıyorum :

$o(x_n)=d :\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{}(1)\ x_d =\frac{k+1}{2}& \\ \\(2) \ x_n=\frac{k+1}{2}\Rightarrow d\leq n\end{array}\right.$

şeklinde tanımlarsam ; eğer $ 3^i\leq K \leq 3^{i+1} \Rightarrow o(x_n) \leq i+1$ olur.

Bu gözlemi doğru ise dizimi çok daha kontrol edebilirim çünkü hamgi sayıdan sonra diziyi sabitleceğını bilmiş olurum ki bunu benım çok iyi bir şey iluzyonu genişleştırme adımda.

Ah! galiba gördum bir şey. yazdığın programında bakarsan; görürsun ki $lim \lceil  A_n \rceil +lim \lfloor A_n \rfloor = \frac{1}{2}lim A_n $ ilgınç bir şeklinde...Bir gözlemdır

Limiti bulmak için şöyle bir alternatif yol da var: Önce bir limitin olduğunu kabul edip buna $x^*$ diyelim. Sonra $x^* = \frac{x^*+K}{3}$ denklemini çözersek limiti bulacağız. Asıl sorudaki dizi için de $x^* = \lceil \frac{x^*+K}{3} \rceil$ denklemini çözmek gerek haliyle.
Hocam bu yöntem deneceğim.. burdan çıkacak gibi geliyor bana... bu özelık ile alakalı bır kaynak varsa önerbilir misiniz ?
19,396 soru
21,149 cevap
70,812 yorum
25,218 kullanıcı