Anlayamadıgım bır sorundan dolayı hatalı yazılıyor, cevabın gosterımı aşağıdadır.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Ortadaki ifadede a0 yalnız bırakılırsa eşitsizliğimiz
nan−(a1+⋯+an)<a0≤nan+1−(a1+⋯+an)
haline dönüşür. Bu ifadeyi de
n−1∑i=1(an−ai)<a0≤n∑i=1(an+1−ai)
halinde düzenleyebiliriz. Şimdi, (bn) dizisini
bn=n−1∑i=1(an−ai)
olmak üzere tanımlayalım. Eşitsizliğimizi bu yeni tanımla
bn<a0≤bn+1
şeklinde yeniden yazabiliriz. Elimizdeki an dizisi bir artan tamsayi dizi olduğundan n>i için an−ai≥1 olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla
bn=n−1∑i=1an=ai≥n−1
sonucuna varıyoruz. Buradan da
lim
olduğu edilir. Ayrıca kısa bir hesapla
b_{n+1}-b_n=n(a_{n+1}-a_n)>0
olduğundan (b_n) dizisinin artan olduğunu görürüz. b_1=0, \lim b_n=\infty ve b_n artan olduğundan (0,\infty) aralığı I_n=(b_n,b_{n+1}] aralıklarının ayrık bileşimidir ve a_0>0 sayısı bu aralıkların sadece birine, örneğin sadece I_m aralığına düşer. Dolayısıyla soruda verilen eşitsizliğe denk olan
b_n < a_0 \leq a_{n+1}
eşitsizliği sadece bu n=m pozitif tamsayısı için sağlanır.