Anlayamadıgım bır sorundan dolayı hatalı yazılıyor, cevabın gosterımı aşağıdadır.
-----------------------
Ortadaki ifadede a_0 yalnız bırakılırsa eşitsizliğimiz
na_n-(a_1+\cdots+a_n) < a_0 \leq na_{n+1}-(a_1+\cdots+a_n)
haline dönüşür. Bu ifadeyi de
\sum_{i=1}^{n-1} (a_n-a_i) < a_0 \leq \sum_{i=1}^n (a_{n+1}-a_i)
halinde düzenleyebiliriz. Şimdi, (b_n) dizisini
b_n=\sum_{i=1}^{n-1} (a_n-a_i)
olmak üzere tanımlayalım. Eşitsizliğimizi bu yeni tanımla
b_n < a_0 \leq b_{n+1}
şeklinde yeniden yazabiliriz. Elimizdeki a_n dizisi bir artan tamsayi dizi olduğundan n>i için a_n-a_i \geq 1 olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla
b_n=\sum_{i=1}^{n-1} a_n=a_i \geq n-1
sonucuna varıyoruz. Buradan da
\lim_{n \to \infty} b_n=\infty
olduğu edilir. Ayrıca kısa bir hesapla
b_{n+1}-b_n=n(a_{n+1}-a_n)>0
olduğundan (b_n) dizisinin artan olduğunu görürüz. b_1=0, \lim b_n=\infty ve b_n artan olduğundan (0,\infty) aralığı I_n=(b_n,b_{n+1}] aralıklarının ayrık bileşimidir ve a_0>0 sayısı bu aralıkların sadece birine, örneğin sadece I_m aralığına düşer. Dolayısıyla soruda verilen eşitsizliğe denk olan
b_n < a_0 \leq a_{n+1}
eşitsizliği sadece bu n=m pozitif tamsayısı için sağlanır.