Processing math: 4%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
4 beğenilme 1 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.8k puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Ortadaki ifadede $a0yalnızbırakılırsaeşitsizliğimiz$nan-(a1+\cdots+an) < a0 \leq na{n+1}-(a1+\cdots+an) haline dönüşür. Bu ifadeyi de \sum{i=1}^{n-1} (an-ai) < a0 \leq \sum{i=1}^n (a{n+1}-ai)$$
halinde düzenleyebiliriz. Şimdi, $(b
n) dizisini $ bn=\sum{i=1}^{n-1} (an-ai) olmak üzere tanımlayalım. Eşitsizliğimizi bu yeni tanımla bn < a0 \leq b{n+1}$$
şeklinde yeniden yazabiliriz. Elimizdeki $a
n dizisi bir artan tamsayı dizi olduğundan n>i için an-ai \geq 1 olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla $ bn=\sum{i=1}^{n-1} (an-ai) \geq n-1 sonucuna varıyoruz. Buradan da \lim{n \to \infty} bn=\infty olduğu elde edilir. Ayrıca kısa bir hesapla b{n+1}-bn=n(a{n+1}-an)>0 $$
olduğundan $(bn) dizisinin artan olduğunu görürüz. b1=0, \lim bn=\infty ve bn artan olduğundan (0,\infty) aralığı In=(bn,b{n+1}] aralıklarının ayrık bileşimidir ve a0>0 sayısı bu aralıkların sadece birine, örneğin sadece Im aralığına düşer. Dolayısıyla soruda verilen eşitsizliğe denk o lan $ bn < a0 \leq b{n+1} $$
eşitsizliği sadece bu n=m pozitif tamsayısı için sağlanır.

(30 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Benimkine göre daha sade ve olan bitenin ne olduğuna dair fikir veren bir çözüm olmuş. Elinize sağlık.

Anlayamadıgım bır sorundan dolayı hatalı yazılıyor, cevabın gosterımı aşağıdadır.
-----------------------
Ortadaki ifadede a_0 yalnız bırakılırsa eşitsizliğimiz

na_n-(a_1+\cdots+a_n) < a_0 \leq na_{n+1}-(a_1+\cdots+a_n)

haline dönüşür. Bu ifadeyi de

\sum_{i=1}^{n-1} (a_n-a_i) < a_0 \leq \sum_{i=1}^n (a_{n+1}-a_i)

halinde düzenleyebiliriz. Şimdi, (b_n) dizisini

b_n=\sum_{i=1}^{n-1} (a_n-a_i)

olmak üzere tanımlayalım. Eşitsizliğimizi bu yeni tanımla

b_n < a_0 \leq b_{n+1}

şeklinde yeniden yazabiliriz. Elimizdeki a_n dizisi bir artan tamsayi dizi olduğundan n>i için a_n-a_i \geq 1 olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla

b_n=\sum_{i=1}^{n-1} a_n=a_i \geq n-1

sonucuna varıyoruz. Buradan da

\lim_{n \to \infty} b_n=\infty

olduğu edilir. Ayrıca kısa bir hesapla

b_{n+1}-b_n=n(a_{n+1}-a_n)>0

olduğundan (b_n) dizisinin artan olduğunu görürüz. b_1=0, \lim b_n=\infty ve b_n artan olduğundan (0,\infty) aralığı I_n=(b_n,b_{n+1}] aralıklarının ayrık bileşimidir ve a_0>0 sayısı bu aralıkların sadece birine, örneğin sadece I_m aralığına düşer. Dolayısıyla soruda verilen eşitsizliğe denk olan

b_n < a_0 \leq a_{n+1}

eşitsizliği sadece bu n=m pozitif tamsayısı için sağlanır.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Önce \mathbb{N} kümesinden rasyonel sayılara giden f fonksiyonunu aşağıdaki gibi tanımlayalım:

n\mapsto f(n):=\sum_{i=0}^{n}\frac{a_i}{n}.

Bu notasyonla göstermemiz gereken şudur.

a_n<f(n)\leq a_{n+1}

eşitsizliğini sağlayan tek bir pozitif n doğal sayısı vardır. Üst satırdaki eşitsizliği temel eşitsizlik olarak adlandıralım. Öncelikle, bu eşitsizliği sağlayan iki farklı doğal sayı olamayacağını ispatlayacağız. Diyelim ki sözü geçen eşitsizlik N\in\mathbb{N} için sağlansın. Şunu kanıtlayacağız:

a_{N+k}<f(N+k)\leq a_{N+k+1}

eşitsizliği hiçbir pozitif k doğal sayısı için doğru değildir. k üzerine tümevarımla ispatlayacağız. N doğal sayısı temel eşitsizliği sağladığı için elimizde şu eşitsizlik vardır:

N\cdot a_N<a_0+a_1+\cdots+a_N\leq N\cdot a_{N+1}.

k=1 durumu: Bu durumda şöyle bir eşitsizlik elde ederiz:

\begin{eqnarray} f(N+1)=\frac{a_0+a_1+\cdots+a_N+a_{N+1}}{N+1} & = & \frac{a_0+a_1+\cdots+a_N}{N+1}+\frac{a_{N+1}}{N+1}\\ & \leq & N\cdot\frac{a_{N+1}}{N+1}+\frac{a_{N+1}}{N+1} \\ & = & a_{N+1}. \end{eqnarray}

Yani N+1 doğal sayısı temel eşitsizliği sağlamıyor. Hatta özel bir biçimde sağlamadığını gördük: f(N+1)\leq a_{N+1}. Şimdi N+k (k>0) sayısı için f(N+k)\leq a_{N+k} eşitsizliğinin doğru olduğunu varsayalım. Tümevarım hipotezimiz gereği şu eşitsizliği elde ederiz.

f(N+k+1)=\frac{a_0+\cdots+a_{N+k}}{N+k+1}+\frac{a_{N+k+1}}{N+k+1}\\ \leq \frac{(N+k)\cdot a_{N+k+1}}{N+k+1}+\frac{a_{N+k+1}}{N+k+1}\\ =a_{N+k+1}

Ki bu eşitsizlik de N+k+1 doğal sayısının temel eşitsizliği sağlamadığını gösterir. Sonuç olarak şunu gösterdik: n temel eşitsizliği sağlıyorsa n'den büyük hiçbir tamsayı temel eşitsizliği sağlamaz. Dikkat edilirse, bu sonuçtan şu ekstra sonuç da çıkar:

"n temel eşitsizliği sağlıyorsa n'den küçük hiçbir doğal sayı temel eşitsizliği sağlamaz."

Çünkü n'den küçük bir doğalsayı temel eşitsizliği sağlıyor olsaydı bir önceki sonucumuz gereği n temel eşitsizliği sağlayamazdı. Sonuç olarak temel eşitsizliği en çok bir doğal sayının sağlayabileceğini göstermiş olduk.

Dikkat edilirse ispatımızda daha kuvvetli bir önerme olan şunu gösterdik: Eğer

f(N)\leq a_{N+1}

eşitsizliği pozitif bir N doğal sayısı için doğruysa, N'den büyük hiçbir M doğal sayısı için

f(M)\leq a_{M+1}

eşitsizliği doğru olamaz. Yani bu eşitsizliği sağlayan en çok bir tane doğal sayı olduğunu göstermişiz. Şimdi bu eşitsizliğin en az bir yane doğal sayı tarafından sağlanması gerektiğini ispatlayalım. Şu ifadeyi ele alalım:

F(n)=f(n)-a_{n+1}.

Amacımız F(n) sayısının en az bir tane n doğal sayısı için sıfırdan küçük olduğunu göstermek. Ancak bunu göstermek çok kolay. Dikkat edilirse

F(n)=\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}-a_{n+1}=\frac{a_0+(a_1-a_{n+1})\cdots+(a_n-a_{n+1})}{n}

eşitliğinin sağ tarafındaki toplamaya giren ifadeler arasında a_0 haricindekiler -1'den küçük sayılar. Yani n yeterince büyünce toplamları -a_0'dan küçük olacak ve F(n) sıfırdan küçük olacaktır.

Benzer bir ispatın eşitsizliğin diğer tarafı için de yapılması ve bulunan indislerin aynı olduğunu göstermek gerekmekte elbette ispatı tamamlamak için.

(3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,295 soru
21,836 cevap
73,537 yorum
2,691,452 kullanıcı