Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
4 beğenilme 1 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.8k puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Ortadaki ifadede $a0yalnızbırakılırsaeşitsizliğimiz$nan-(a1+\cdots+an) < a0 \leq na{n+1}-(a1+\cdots+an)halinedönüşür.Buifadeyide \sum{i=1}^{n-1} (an-ai) < a0 \leq \sum{i=1}^n (a{n+1}-ai)$$
halinde düzenleyebiliriz. Şimdi, $(b
n)dizisini$ bn=\sum{i=1}^{n-1} (an-ai)olmaküzeretanımlayalım.Eşitsizliğimizibuyenitanımla bn < a0 \leq b{n+1}$$
şeklinde yeniden yazabiliriz. Elimizdeki $a
ndizisibirartantamsayıdiziolduğundann>iiçinan-ai \geq 1olduğunugörüyoruz.Dolayısıyla$ bn=\sum{i=1}^{n-1} (an-ai) \geq n-1sonucunavarıyoruz.Buradanda \lim{n \to \infty} bn=\inftyolduğueldeedilir.Ayrıcakısabirhesapla b{n+1}-bn=n(a{n+1}-an)>0 $$
olduğundan $(bn)dizisininartanolduğunugörürüz.b1=0,\lim bn=\inftyvebnartanolduğundan(0,\infty)aralığıIn=(bn,b{n+1}]aralıklarınınayrıkbileşimidirvea0>0sayısıbuaralıklarınsadecebirine,örneğinsadeceImaralığınadüşer.Dolayısıylasorudaverileneşitsizliğedenkolan$ bn < a0 \leq b{n+1} $$
eşitsizliği sadece bu n=m pozitif tamsayısı için sağlanır.

(30 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Benimkine göre daha sade ve olan bitenin ne olduğuna dair fikir veren bir çözüm olmuş. Elinize sağlık.

Anlayamadıgım bır sorundan dolayı hatalı yazılıyor, cevabın gosterımı aşağıdadır.

Ortadaki ifadede a0 yalnız bırakılırsa eşitsizliğimiz

nan(a1++an)<a0nan+1(a1++an)

haline dönüşür. Bu ifadeyi de

n1i=1(anai)<a0ni=1(an+1ai)

halinde düzenleyebiliriz. Şimdi, (bn) dizisini

bn=n1i=1(anai)

olmak üzere tanımlayalım. Eşitsizliğimizi bu yeni tanımla

bn<a0bn+1

şeklinde yeniden yazabiliriz. Elimizdeki an dizisi bir artan tamsayi dizi olduğundan n>i için anai1 olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla

bn=n1i=1an=ain1

sonucuna varıyoruz. Buradan da

limnbn=

olduğu edilir. Ayrıca kısa bir hesapla

bn+1bn=n(an+1an)>0

olduğundan (bn) dizisinin artan olduğunu görürüz. b1=0, limbn= ve bn artan olduğundan (0,) aralığı In=(bn,bn+1] aralıklarının ayrık bileşimidir ve a0>0 sayısı bu aralıkların sadece birine, örneğin sadece Im aralığına düşer. Dolayısıyla soruda verilen eşitsizliğe denk olan

bn<a0an+1

eşitsizliği sadece bu n=m pozitif tamsayısı için sağlanır.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Önce N kümesinden rasyonel sayılara giden f fonksiyonunu aşağıdaki gibi tanımlayalım:

nf(n):=ni=0ain.

Bu notasyonla göstermemiz gereken şudur.

an<f(n)an+1

eşitsizliğini sağlayan tek bir pozitif n doğal sayısı vardır. Üst satırdaki eşitsizliği temel eşitsizlik olarak adlandıralım. Öncelikle, bu eşitsizliği sağlayan iki farklı doğal sayı olamayacağını ispatlayacağız. Diyelim ki sözü geçen eşitsizlik NN için sağlansın. Şunu kanıtlayacağız:

aN+k<f(N+k)aN+k+1

eşitsizliği hiçbir pozitif k doğal sayısı için doğru değildir. k üzerine tümevarımla ispatlayacağız. N doğal sayısı temel eşitsizliği sağladığı için elimizde şu eşitsizlik vardır:

NaN<a0+a1++aNNaN+1.

k=1 durumu: Bu durumda şöyle bir eşitsizlik elde ederiz:

f(N+1)=a0+a1++aN+aN+1N+1=a0+a1++aNN+1+aN+1N+1NaN+1N+1+aN+1N+1=aN+1.

Yani N+1 doğal sayısı temel eşitsizliği sağlamıyor. Hatta özel bir biçimde sağlamadığını gördük: f(N+1)aN+1. Şimdi N+k (k>0) sayısı için f(N+k)aN+k eşitsizliğinin doğru olduğunu varsayalım. Tümevarım hipotezimiz gereği şu eşitsizliği elde ederiz.

f(N+k+1)=a0++aN+kN+k+1+aN+k+1N+k+1(N+k)aN+k+1N+k+1+aN+k+1N+k+1=aN+k+1

Ki bu eşitsizlik de N+k+1 doğal sayısının temel eşitsizliği sağlamadığını gösterir. Sonuç olarak şunu gösterdik: n temel eşitsizliği sağlıyorsa n'den büyük hiçbir tamsayı temel eşitsizliği sağlamaz. Dikkat edilirse, bu sonuçtan şu ekstra sonuç da çıkar:

"n temel eşitsizliği sağlıyorsa n'den küçük hiçbir doğal sayı temel eşitsizliği sağlamaz."

Çünkü n'den küçük bir doğalsayı temel eşitsizliği sağlıyor olsaydı bir önceki sonucumuz gereği n temel eşitsizliği sağlayamazdı. Sonuç olarak temel eşitsizliği en çok bir doğal sayının sağlayabileceğini göstermiş olduk.

Dikkat edilirse ispatımızda daha kuvvetli bir önerme olan şunu gösterdik: Eğer

f(N)aN+1

eşitsizliği pozitif bir N doğal sayısı için doğruysa, N'den büyük hiçbir M doğal sayısı için

f(M)aM+1

eşitsizliği doğru olamaz. Yani bu eşitsizliği sağlayan en çok bir tane doğal sayı olduğunu göstermişiz. Şimdi bu eşitsizliğin en az bir yane doğal sayı tarafından sağlanması gerektiğini ispatlayalım. Şu ifadeyi ele alalım:

F(n)=f(n)an+1.

Amacımız F(n) sayısının en az bir tane n doğal sayısı için sıfırdan küçük olduğunu göstermek. Ancak bunu göstermek çok kolay. Dikkat edilirse

F(n)=a0+a1++annan+1=a0+(a1an+1)+(anan+1)n

eşitliğinin sağ tarafındaki toplamaya giren ifadeler arasında a0 haricindekiler 1'den küçük sayılar. Yani n yeterince büyünce toplamları a0'dan küçük olacak ve F(n) sıfırdan küçük olacaktır.

Benzer bir ispatın eşitsizliğin diğer tarafı için de yapılması ve bulunan indislerin aynı olduğunu göstermek gerekmekte elbette ispatı tamamlamak için.

(3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,295 soru
21,836 cevap
73,535 yorum
2,689,843 kullanıcı