2012 Shortlist sorularının hepsinin cevabı biliniyor. Gene de buraya cevabı ekliyorum. Çözüm Aritmetik-geometrik Ortalama eşitsizliğine ve 1 sayısını 1k sayısının k tanesinin toplamı olarak yazma fikrine dayanıyor.
(1+a22)2≥a2
(12+12+a33)3≥122a3
(13+13+13+a44)4≥133a4
⋯
(1n−1+1n−1+⋯+1n−1+ann)n≥1(n−1)n−1an
Bu eşitsizlikler taraf, tarafa çarpılır, gerekli kısaltmalar yapılır ve a2a3⋯an=1 olduğu göz önüne alınırsa
(1+a2)2(1+a3)3⋯(1+an)n≥nn
bulunur. Eşitliğin olması için a2=1, a3=12, ⋯, an=12 olması gerekir. Fakat bu durumda a2a3⋯an=1 olamaz. O halde eşitsizlik kesindir.