Question

$a,b,c,x,y,z$ pozitif reel sayılar olsun. Aşağıdaki eşitsizliği kanıtlayınız $$ \frac{ax}{a+x}+\frac{by}{b+y}+ \frac{cz}{c+z} \le \frac{(a+b+c)(x+y+z)}{a+b+c+x+y+z}$$

Answer 1

$$\frac{ax}{a+x} \le \frac{a(x+y+z)^2+x(a+b+c)^2}{(a+b+c+x+y+z)^2}$$

$$\frac{by}{b+y} \le \frac{b(x+y+z)^2+y(a+b+c)^2}{(a+b+c+x+y+z)^2}$$

$$\frac{cz}{c+z} \le \frac{c(x+y+z)^2+z(a+b+c)^2}{(a+b+c+x+y+z)^2}$$

esitsziliklerini taraf tarafa toplayarak istenen esitsizligi elde

etmis oluruz.Burada kullandigimiz esitsizligin

$\frac{ax}{a+x} \le \frac{a.p^2+x.q^2}{(p+q)^2}$dir ki bunuda

kanitlamak çok zor degil $(pa-qx)^2 \geq 0$

Comments

Yavuz Bey en sonunda sizin yazdiginiz latex kodlarinin neden calismadigini buldum. Bir kac yerde yazim hatasi olmakla beraber, dogru olan kodlar da calismiyordu. Sorun yazilarin (muhtemelen baska bir yerden kopyalandigi icin) editorun tanimadigi bir karakter kodlamasi icermesi.

Kodunuzun calismadigi durumlarda yazdiklarinizi kopyalayip, bir wordpad dosyasina yapistirarak kaydedin. Bunu yapinca `yazdiklarinizin karakter kodlamasinda kayiplar olabilir` gibi bir uyari alacaksiniz, tamam deyin, aslinda istediginiz sey tam olarak bu. Kaydettikten sonra oradan kopyalayip buraya yapistirirsaniz sorun cozulecektir. Kusura bakmayin biraz isinizi zorlastiriyor ama ancak bu sekilde cozebildim. Eger latex kodlarini nereden kopyaladiginizi bana soylerseniz belki sizin icin daha kolay cozumler de onerebilirim.

---

Yok, teşekkür ederim benim için biraz daha uğraşmak problem değil yeterki yazdıklarım doğru çıksın çok teşekkür ederim problemi bulduğunuz için 

---

Salih Hocam, çözümde kullandığınız  $\frac {ax}{a+x}\leq \frac{ap^2+xq^2}{(p+q)^2}$ eşitsizliğinin ispatını vermeniz mümkün mü?

---

ispati ayri bir baslik halinde sorabilirsiniz.

Answer 2

a=x; b=y;c =z durumunda  FAYDALİ esitsizlik kullanirsak ,( X1^2/a1)+(X2^2/a2)+...+(Xn^2/an)>= ((X1+X2+...+Xn)^2/ a1+a2+...+an esitlik durumu icin saglanir yoksa olmz 

Comments

Evet yonu ters oluyor k bakmayn dalgnlkla yanlis yazmism bu sayilarn esitliginde esitsizlik ters yonde cikti