Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
442 kez görüntülendi
$a,b,c$ negatif olmayan sayılar olmak üzere $$a^2b+b^2c+c^2a\le a^3+b^3+c^3$$  eşitsizliğini kanıtlayınız.

Kaynak: Crux Ağustos 1979 sayfa 198
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 442 kez görüntülendi
3 gün önce bir çözüm göndermiştim ama "Cevabınız kontrol edildikten sonra, kısa sürede onaylanacaktır." uyarısı var halen.
Siteye aylardır fake kayıtlar oluyor Lokman hocam. Salih hoca sorunu çözmek için birşeyler yaptı ama  sorun hala devam ediyor. Senin durum belki ondan kaynaklanıyordur. Bu arada geomaniaya bugün girilemiyor.

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Genelliği bozmadan $ 0\le a \le b \le c $ kabul edebiliriz. Bu kabul altında $ 0 \le a^2 \le b^2 \le c^2$ olur. Benzer sıralı bu eşitsizlikler için yeniden düzenleme eşitsizliğini uygularsak $$a\cdot a^2 + b\cdot b^2 + c\cdot c^2 \ge a\cdot c^2 + b\cdot a^2 + c\cdot b^2 $$ elde ederiz.
(2.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
3 beğenilme 0 beğenilmeme
Aritmetik ortalama - geometrik ortalama ilişkisini üç kere uygularsak $$a^3+a^3+b^3\ge3a^2b$$$$b^3+b^3+c^3\ge3b^2c$$$$c^3+c^3+a^3\ge3c^2a$$ eşitsizliklerini elde ederiz. Taraf tarafa toplama ve üç sadeleştirmesi bize $$a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a$$ eşitsizliğini verir.
(25.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
$a\ge b\ge c$ olduğunu kabül edelim. İstenilen eşitsizlik ile aşağıdaki eşitsizlik birbirine denktir:

$$a^2(a-b)+b^2(b-c)\ge c^2(a-c)$$

$$a^2(a-b)+b^2(b-c)\ge a^2(a-b)+c^2(b-c)\ge c^2(a-b)+c^2(b-c)$$

$$a^2(a-b)+b^2(b-c)\ge c^2(a-c)$$ bulunur.
(2.9k puan) tarafından 
20,248 soru
21,774 cevap
73,418 yorum
2,146,847 kullanıcı