Question

$a,b,c$ negatif olmayan sayılar olmak üzere $$a^2b+b^2c+c^2a\le a^3+b^3+c^3$$  eşitsizliğini kanıtlayınız.

Kaynak: Crux Ağustos 1979 sayfa 198

Comments

3 gün önce bir çözüm göndermiştim ama "Cevabınız kontrol edildikten sonra, kısa sürede onaylanacaktır." uyarısı var halen.

---

Siteye aylardır fake kayıtlar oluyor Lokman hocam. Salih hoca sorunu çözmek için birşeyler yaptı ama  sorun hala devam ediyor. Senin durum belki ondan kaynaklanıyordur. Bu arada geomaniaya bugün girilemiyor.

Answer 1

Genelliği bozmadan $ 0\le a \le b \le c $ kabul edebiliriz. Bu kabul altında $ 0 \le a^2 \le b^2 \le c^2$ olur. Benzer sıralı bu eşitsizlikler için yeniden düzenleme eşitsizliğini uygularsak $$a\cdot a^2 + b\cdot b^2 + c\cdot c^2 \ge a\cdot c^2 + b\cdot a^2 + c\cdot b^2 $$ elde ederiz.

Answer 2

Aritmetik ortalama - geometrik ortalama ilişkisini üç kere uygularsak $$a^3+a^3+b^3\ge3a^2b$$$$b^3+b^3+c^3\ge3b^2c$$$$c^3+c^3+a^3\ge3c^2a$$ eşitsizliklerini elde ederiz. Taraf tarafa toplama ve üç sadeleştirmesi bize $$a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a$$ eşitsizliğini verir.

Answer 3

$a\ge b\ge c$ olduğunu kabül edelim. İstenilen eşitsizlik ile aşağıdaki eşitsizlik birbirine denktir:

$$a^2(a-b)+b^2(b-c)\ge c^2(a-c)$$

$$a^2(a-b)+b^2(b-c)\ge a^2(a-b)+c^2(b-c)\ge c^2(a-b)+c^2(b-c)$$

$$a^2(a-b)+b^2(b-c)\ge c^2(a-c)$$ bulunur.