$52$ oyun kartları ile yapılan bir " illüzyonun" altında yatan matematiği çözmeye kalktığımda aşağıdaki dizi karşıma çıktı. $K$ tek doğal sayı; $t\in \{1,\ldots ,K\}$ olmak üzere $A_n : \mathbb{N}\to \mathbb{N}, A_0=t, A_n=\left\lceil \frac{A_{n-1} + K}{3}\right\rceil$ limiti ne olur?

Question

Soru : $K$ tek doğal sayı ; $t\in \{1,...K\}$ olmak üzere.

$A_n : \mathbf{N}\to \mathbf{N} ,A_0 = t ; A_n = \left\lceil \frac{A_{n-1} + K}{3}\right\rceil$ limiti neydır?

Ben  $A_n \to \lceil \frac{K}{2} \rceil = \frac{K+1}{2}$ olacağını hisettim.

Not: $x\in \mathbf{R}$ olsun o zaman $\lceil x\rceil = k \in \mathbf{N} \Leftrightarrow k-1 < x \leq k $

 

Diziye iyi anlaşılsın diye örnek verelim :

Örnek : $K =7 ,t = 2$ alalim.
$A_0 = 2 $ ; 
$A_1 = \lceil\frac{A_0 + k}{3}\rceil =\lceil \frac{2 + 7}{3}\rceil = 3 $
daha sonra $A_2 = A_3 = ... A_n (n> 2) = 4 $ olur.

Bunu $K$ yı ne alırsam ,  $t$ yi de $K$ dan küçük alırsam beli bir terimden sonra hep ayni sayı gelmeye devam eder ve $\frac{K+1}{2}$ dır.

Bilgisarda terımlerı hesaplamak için bir program yaptım ve yeterıne kadar $K$ yi büyük alıyorum yine desteklenıyor... yazdığım programı etkedı..

import math
from math import*

#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# Hattayı çözmek için

jeu=True
while jeu:
    K=input("bir tek sayı giriniz" 
                      "\nseçtığınız sayı : ")
    K=int(K)
    if K % 2 == 1 :
        print("\nK:=",K)
        jeu=False
    else:
        print("lütfen uygun bir sayı gırınız")
        continue
        

gam=True
while gam:
    t=input("K'den küçük yada eşıt bir sayı giriniz" 
                      "\nseçtığınız sayı : ")
    t=int(t)
    if t <= K :
        print("\nK:=",K)
        print("t:=",t,"\n")
        gam=False
    else:
        print("lütfen uygun bir sayı gırınız")
        continue
        
#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# Diziyi oluşturmayi
        
y=t
n=2*K
print("A_0 = ",y)
i=1
while(i<=n):
    x=y
    y=ceil((x+K)/3)
    print("A_{} =".format(i),y)
    i+=1

#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
""" 
out :
bir tek sayı giriniz
seçtığınız sayı : 7

K:= 7
K'den küçük yada eşıt bir sayı giriniz
seçtığınız sayı : 6

K:= 7
t:= 6 

A_0 =  6
A_1 = 5
A_2 = 4
A_3 = 4
A_4 = 4
A_5 = 4
A_6 = 4
A_7 = 4
A_8 = 4
A_9 = 4
A_10 = 4
A_11 = 4
A_12 = 4
A_13 = 4
A_14 = 4   """

Programında $K$ yine 7 alıp bu sefer $t=6$ aldım... sizde python varsa deneyebilirsiniz $K$ çok büyük da alarak kendınıze göreceksınız.

Comments

$ A_n\rightarrow \lceil \frac{ K}{2}\rceil=\frac{K+1}2$ demek istedin herhalde.

Monoton Yakınsaklık Teoremini kullanmayı denedn mi?

---

Dediğiniz gibi monoton yakınsaklık teoremi kulandım . bildiğim kadar ila o teoremi sadece yakınsaklığı söyler. bunu zaten görmuştum.. benım istediğimi limiti bulmak ve $A_n \to \frac{k+1}{2} $ doğru ise nasil kanıtlayabilirim ?

---

Önce :

$x_0=t,\ x_{n+1}=\frac{x_n+K}3$ dizisinin yakınsak olduğunu gösterip limitini bulabilir misin?

Daha sonra $\lceil\ \rceil$ eklemeyi düşünürüz.

---

Hocam Bunu böyle şeklinde yapmiştım fakat bekledığım çıkmadı nerde yanlış yaptığımı söylebilir mısınız
$x_0 = t , x_{n}  = \frac{x_{n-1} + K}{3} $ olsun

$x_1 = \frac{t+K}{3}=\frac{t}{3} +\frac{K}{3}$

$x_2 = \frac{t+K+3K}{9}=\frac{t}{9} +\frac{K}{9}+\frac{K}{3}$

...

$x_n = \frac{t}{3^n}+\frac{K}{3^n}+\frac{K}{3^{n-1}}+... +\frac{K}{3}=\frac{t+K}{3^n} + \sum ^{n }_{s=1}K(\frac{1}{3})^{s-1}$.

böylece $\lim_{n\to \infty}x_n = \lim_{n\to \infty}\sum ^{n }_{s=1}K(\frac{1}{3})^{s-1} = \frac{K}{1-\frac{1}{3}} = \frac{3K}{2}$

Fakat terımlerı hesaplamaya kalkarsam limiti $\frac{K}{2}$ buluyorum Bu kodu yardımıyla

import math
from math import*

#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# Hattayı çözmek için

jeu=True
while jeu:
    K=input("bir tek sayı giriniz" 
                      "\nseçtığınız sayı : ")
    K=int(K)
    if K % 2 == 1 :
        print("\nK:=",K)
        jeu=False
    else:
        print("lütfen uygun bir sayı gırınız")
        continue
        

gam=True
while gam:
    t=input("K'den küçük yada eşıt bir sayı giriniz" 
                      "\nseçtığınız sayı : ")
    t=int(t)
    if t <= K :
        print("\nK:=",K)
        print("t:=",t,"\n")
        gam=False
    else:
        print("lütfen uygun bir sayı gırınız")
        continue
        
#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# Diziyi oluşturmayi
        
y=t
n=35
print("A_0 = ",y)
i=1
while(i<=n):
    x=y
    y=(x+K)/3
    print("A_{} =".format(i),y)
    i+=1
#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

"""
OUT :
bir tek sayı giriniz
seçtığınız sayı : 5

K:= 5
K'den küçük yada eşıt bir sayı giriniz
seçtığınız sayı : 3

K:= 5
t:= 3 

A_0 =  3
A_1 = 2.6666666666666665
A_2 = 2.5555555555555554
A_3 = 2.5185185185185186
A_4 = 2.506172839506173
A_5 = 2.502057613168724
A_6 = 2.500685871056241
A_7 = 2.500228623685414
A_8 = 2.500076207895138
A_9 = 2.5000254026317124
A_10 = 2.500008467543904
A_11 = 2.5000028225146345
A_12 = 2.5000009408382113
A_13 = 2.500000313612737
A_14 = 2.500000104537579
A_15 = 2.5000000348458595
A_16 = 2.5000000116152865
A_17 = 2.500000003871762
A_18 = 2.500000001290587
A_19 = 2.500000000430196
A_20 = 2.5000000001433986
A_21 = 2.5000000000477995
A_22 = 2.5000000000159335
A_23 = 2.5000000000053113
A_24 = 2.5000000000017706
A_25 = 2.50000000000059
A_26 = 2.5000000000001967
A_27 = 2.5000000000000657
A_28 = 2.5000000000000218
A_29 = 2.500000000000007
A_30 = 2.500000000000002
A_31 = 2.5000000000000004
A_32 = 2.5
A_33 = 2.5
A_34 = 2.5
A_35 = 2.5
"""

Nerede Kaçırıyorum ?

---

$x_n = \frac{t}{3^n}+\frac{K}{3^n}+\frac{K}{3^{n-1}}+... +\frac{K}{3}=\frac{t+K}{3^n} + \sum ^{n }_{s=1}K(\frac{1}{3})^{s-1}$. son kısım hatalı.

$x_n = \frac{t}{3^n}+\frac{K}{3^n}+\frac{K}{3^{n-1}}+... +\frac{K}{3}=\frac{t+K}{3^n} + \sum ^{n-1 }_{s=1}K(\frac{1}{3})^{s}$.

$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\frac K2$ olur.

---

Tam olarak hattamı göremedım hala ; $\lim_{n\to\infty} \sum ^{n }_{s=1}K(\frac{1}{3})^{s-1} =\lim_{x\to\infty} \sum ^{n-1 }_{s=1}K(\frac{1}{3})^{s} = \frac{K}{2} $ mi çıkıyor ?

---

$\sum_{s=1}^nK(\frac13)^{s-1}$ değil.

$\sum_{s=2}^nK(\frac13)^{s-1}=\sum_{s=1}^{n-1}K(\frac13)^{s}$

---

Anladım Hocam yine bunu biraz basitti ama diğer yani $\lceil \ \rceil$ ekleyınce bambaşka birşey olur ... aynı mantiği kulanamiyorum

---

$n = \lceil\frac{n}{3}\rceil + \lceil\frac{n-1}{3}\rceil + \lceil\frac{n-2}{3}\rceil$

kullansan

---

Bu güzel bir özelık fakat işimi zorlaştırıyor biraz da belki bir şey kaçırıyorum... yine bakarım...

---

bu ozellikle degil ama baska bir ozellikle buldum sanirim

$n = \lceil \frac{n}{2} \rceil + \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ bagintisini aklimizda tutalim.

$A_n = \frac{2A_{n-1}+K}{3}$

$A_n^\uparrow = \lceil \frac{A_{n-1}^\uparrow+K}{3} \rceil$

$A_n^\downarrow = \lfloor \frac{A_{n-1}^\downarrow+K}{3} \rfloor$

olsun.

Yukaridaki bagintiyi kullanarak diyebiliriz ki

$A_n = A_n^\uparrow + A_n^\downarrow$

$A_n$ in limiti yanilmiyorsam $K$ olmali.

sanirim (buradan cok emin degilim)

$A_n^\uparrow = 1+A_n^\downarrow$

butun bunlari birlestirince sonuc geliyor olmali bir sekilde

---

$K$ cift olunca ne oluyor acaba

---

Hocam limiti $K$ olmuyor... progarm yardımıyla hesapladık hep $\frac{K+1}{2}$ gelior. bir $A_n^\uparrow$ derken ne demek istiyorsunuz... $A_n = \frac{2A_{n-1}+K}{3} ;$ $2$ yi nerden geldi?? bizim $A_n =  \frac{A_{n-1} + K}{3}$ olmasi gerekiyor.

---

ya evet yanlis yapmisim aklimdaki fikir suydu
$n = \lceil \frac{n}{2}\rceil + \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$

bagintisinda $\lceil \frac{n}{2}\rceil $ in icini bizim elimizdeki diziye benzetmeye calistim.

$A_n = 2 \frac{A_{n-1}+K}{3}$ olmaliydi. ama sanirim yanlis yol bu da yarin sabah salim kafayla yeniden bakacagim

---

Tamam Hocam.. bu arada K çıft olduğundan çok ilgiinç olur.aslında $\frac{K}{2}$ yakınsar.fakat benım burda K çıft almak demek çıft sayıda kart almaktır; diyelim ki 8 kart aldım yani K=8 burda seyrıcın kartı beli bir zamandan sonra yine 4 .sira da olacağını biliyorum fakat üsten alta doğru olan 4 du mu altan ustana.

Böylece t duruma göre değişiyor fakat ilk olrak t yi seçen seyrıcıydı bana söylemiyecek. Dolasıyla bu ilizyonu yaparken hep tek sayıda kart almalısın ki oyuncunun seçtığı kart bu dizi yardımıyla ortalayıp bulabilirsin. ben oyunu genışlenmek amacıyla bu dızıyı ıhtayaç duydum.

---

Ya calisiyor soyledigim yontem ama neden ve nasil calisiyor anlamadim yeniden anlatiyim ne yaptigimi:
$n \in \mathbb{N}$ icin $2n = \lceil n \rceil + \lfloor n \rfloor $ ifadesi dogru.

$A_n = \frac{A_{n-1}+K}{3}$ serisinin $K/2$ yakinsadigini biliyoruz.

$ 2 \lim_{n\to\infty} A_n  = K$ dogal sayi oldigi icin

$ 2K = \lceil K \rceil + \lfloor K \rfloor$ diyebilirim galiba

$l = \lceil A \rceil$ diyelim o zaman $l-1 = \lfloor A\rfloor $

yani

$l =\frac{K+1}{2}$

 

peki simdi sorum deneysel olarak sonuca esit olsa da bu yontemle buldugum sonuc. Bu sonuc neden dogru ? cunku hicbir $A_n$ icin $2A_n = \lceil A_n \rceil + \lfloor A_n \rfloor$ dogru degil.

Isin diger bir ilginc tarafi bu kardes serilerin $A_n$ in yakinsama hizindan daha hizli yakinsamasi en azindan deneysel olarak.

asagida sonuclarimi paylasiyorum

 

julia> f(n,k,t) = n == 0 ? t : ceil((f(n-1,k,t) + k)/3)
f (generic function with 2 methods)

julia> g(n,k,t) = n == 0 ? t : floor((g(n-1,k,t) + k)/3)
g (generic function with 1 method)

julia> h(n,k,t) = n == 0 ? t : 2*( h(n-1,k,t) + k) /3
h (generic function with 1 method)

julia> deneme(n,k,t)=f(n,k,t),g(n,k,t),h(n,k,t)
deneme (generic function with 2 methods)

julia> deneme.(0:30,503,1)
31-element Array{Tuple{Real,Real,Real},1}:
 (1, 1, 1)
 (168.0, 168.0, 336.0)
 (224.0, 223.0, 559.3333333333334)
 (243.0, 242.0, 708.2222222222223)
 (249.0, 248.0, 807.4814814814814)
 (251.0, 250.0, 873.6543209876542)
 (252.0, 251.0, 917.7695473251027)
 (252.0, 251.0, 947.1796982167352)
 (252.0, 251.0, 966.7864654778235)
 (252.0, 251.0, 979.8576436518824)
 (252.0, 251.0, 988.5717624345883)
 (252.0, 251.0, 994.3811749563923)
 (252.0, 251.0, 998.254116637595)
 (252.0, 251.0, 1000.8360777583966)
 (252.0, 251.0, 1002.5573851722644)
 (252.0, 251.0, 1003.7049234481761)
 (252.0, 251.0, 1004.4699489654507)
 (252.0, 251.0, 1004.9799659769673)
 (252.0, 251.0, 1005.3199773179782)
 (252.0, 251.0, 1005.5466515453187)
 (252.0, 251.0, 1005.697767696879)
 (252.0, 251.0, 1005.7985117979193)
 (252.0, 251.0, 1005.8656745319462)
 (252.0, 251.0, 1005.9104496879642)
 (252.0, 251.0, 1005.940299791976)
 (252.0, 251.0, 1005.9601998613174)
 (252.0, 251.0, 1005.9734665742117)
 (252.0, 251.0, 1005.9823110494744)
 (252.0, 251.0, 1005.9882073663163)
 (252.0, 251.0, 1005.9921382442108)
 (252.0, 251.0, 1005.9947588294739)

 

---

evet Hocam $A_n$ den  çok hizliler hatta beli bir aralıktan sonra yakınsamaya başlar .

Doğru olmaz çünkü $A_n$ doğal sayı değil yani her n için doğal sayı olmaz.. yazdığın de sade n doğal sayı iken geçerli...
orda $l = \lceil A \rceil$ derken A ne ? dızının lımıtı mı?

Birde söyle bir gözlem yaptım :

$  x_0 = t ; x_n = \left\lceil \frac{x_{n-1} + K}{3}\right\rceil $

$x_n$ nin derecesi $o(x_n)$ şöyle şeklinde tanımlıyorum :

$o(x_n)=d :\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{}(1)\ x_d =\frac{k+1}{2}& \\ \\(2) \ x_n=\frac{k+1}{2}\Rightarrow d\leq n\end{array}\right.$

şeklinde tanımlarsam ; eğer $ 3^i\leq K \leq 3^{i+1} \Rightarrow o(x_n) \leq i+1$ olur.

Bu gözlemi doğru ise dizimi çok daha kontrol edebilirim çünkü hamgi sayıdan sonra diziyi sabitleceğını bilmiş olurum ki bunu benım çok iyi bir şey iluzyonu genişleştırme adımda.

---

Ah! galiba gördum bir şey. yazdığın programında bakarsan; görürsun ki $lim \lceil  A_n \rceil +lim \lfloor A_n \rfloor = \frac{1}{2}lim A_n $ ilgınç bir şeklinde...Bir gözlemdır

---

Limiti bulmak için şöyle bir alternatif yol da var: Önce bir limitin olduğunu kabul edip buna $x^*$ diyelim. Sonra $x^* = \frac{x^*+K}{3}$ denklemini çözersek limiti bulacağız. Asıl sorudaki dizi için de $x^* = \lceil \frac{x^*+K}{3} \rceil$ denklemini çözmek gerek haliyle.

---

Hocam bu yöntem deneceğim.. burdan çıkacak gibi geliyor bana... bu özelık ile alakalı bır kaynak varsa önerbilir misiniz ?