Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
541 kez görüntülendi
$\mathbf{x}=(x_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\ L\in\mathbb{R}$

$\bigcup_{i=1}^\infty A_i=\mathbb{N}$ (Her bir $A_i$ sonsuz) ve

$\forall i$ için $\lim\mathbf{x}\!\mid_{A_i}=L$ $\quad(\mathbf{x}\mid_{A_i} $ alt dizi$)$

ise $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=L$ olur mu?
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 541 kez görüntülendi
Sonlu çoklukta $A_i$ için (yani $\mathbb{N}=\bigcup_{i=1}^n A_i$ iken) benzer sorular soruldu.

(Tam gösterilmedi ama) O zaman doğru oluyor.

Burada, istenirse, her $i\neq j$ için $A_i\cap A_j=\varnothing$  kabul edilebilir.
Edit: Soru başlığına da "her $i$ için" ekledim.

1 cevap

3 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Asal sayıları $p_1, p_2, \ldots$ diye sıralayalım.

$A_i = \{p_i, p_i^2, p_i^3 \ldots \}$ olsun.

$A_0 = \mathbb N \setminus \bigcup A_i$ olarak tanımlayalım (en az iki asal çarpanı olanlar ve tabii ki bir ve sıfır)

Şimdi asal sayılarda 1 ve diğer sayılarda 0 olan diziyi düşünelim.

$A_0$ üzerinde tamamen sıfır bu dizi.

Diğer $A_i$'lerde 1 ile başlayıp 0 diye devam ediyor.

Dolayısıyla sorunun şartlarını yerine getiriyor. Ama sonsuz sayıda asal olduğu için sürekli 1'e kaçıyor.
(2.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Biraz Hilbert oteli probleminden ilham aldım galiba.
Benim düşündüğüm örneğin neredeyse aynısını bulmuşsun Ozgur.

Ben $x_{p^i}= \frac1i$ düşünmüştüm.

ya @Ozgur ben bir seyi anlamadim:

Verdigin diziyi $A_1$ kumesi uzerine sinirlayinca yakinsak ama diger dizilerin aksine $0$ yerine $1$ e yakinsiyor. Sorunun sarti hepsinin ayni sayiya yakinsiyor olmasi degil mi ?

Nereyi kaciriyorum ?

Tamam ben yanlis anlamisim tamamen. Simdi cozdum cok guzelmis

20,217 soru
21,750 cevap
73,348 yorum
1,975,720 kullanıcı