$f: \mathbb{N}^+ \to I$ bir eşleme olsun. Önceki sorudaki tanıma göre $\displaystyle\sum_{i\in I}a_i=S$ ise (standart seri toplamı tanımına göre) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{f(n)}=S$ olur mu?

Question

$f: \mathbb{N}^+ \to I$ bir eşleme olsun.  Bu sorudaki   tanıma göre $\displaystyle\sum_{i\in I}a_i=S$ ise

 (standart seri toplamı tanımına göre)  $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{f(n)}=S$ olur mu?

Answer 1

$\displaystyle \sum_{i\in I}a_i=S $ olsun. $\varepsilon>0$ sayısı verilsin. 

Tanımımıza göre, her (sonlu)  $B\supseteq A$ için $\displaystyle\left|\sum_{i\in B}a_i-S\right|$ olacak şekilde sonlu bir $A\subset I$ kümesi vardır. $K=\max f^{-1}(A)$ ve 

$n\geq K\quad(n\in\mathbb{N}^+)$  olsun. $B=f(\{1,2,\ldots,n\})$ alalım. $A\subseteq B\subset I$ ve $B$ sonlu olur.

Bu nedenle ($s_k=a_{f(1)}+a_{f(2)}+\cdots+a_{f(k)}\ (k\in\mathbb{N}^+)$ olmak üzere) 

$\displaystyle|s_n-S|=\left|\sum_{i\in B}a_i-S\right|<\varepsilon$ olur.

 Bu da $\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n=S$ yani $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{f(n)}=S$ olması demektir.

Comments

Bu yaptıklarımın (ve daha fazlasının) Ali Nesin in 

http://nesinkoyleri.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz_1.pdf

de bulabileceğiniz ANALİZ I ders kitabında (bölüm 23) olduğunu yeni farkettim.