$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n}$ mutlak yakınsak ve toplamı $S$ olsun. Bir $\varepsilon>0$ sayısı verilsin.
(standart) Yakınsaklık tanımından, ($s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ olmak üzere) her $n\geq K_1$ için $|s_n-S|<\frac{\varepsilon}{2}$ olacak şekilde bir $K_1\in\mathbb{N}^+$ vardır.
ayrıca $\sum|a_n|$ yakınsak olduğundan (seriler için Cauchy kriterinden),
$m\geq n\geq K_2$ iken $\sum_{k=n}^{m}|a_k|<\frac{\varepsilon}{2}$ olacak şekilde bir $K_2\in \mathbb{N}^+$ vardır.
$K=\max\{K_1,K_2\}$ ve $A=\{1,2,\ldots,K\}$ olsun. $A\subset\mathbb{N}^+$ ve $A$ sonludur.
$B\supseteq A,\ (B\subset \mathbb{N}^+)$ sonlu olsun.
$\displaystyle\left|\sum_{n\in B}a_n-S\right|=\left|\left( \sum_{n\in A}a_n-S\right)+\sum_{n\in B\setminus A}a_n \right|\leq \left| \sum_{n\in A}a_n-S\right|+\left| \sum_{n\in B\setminus A}a_n \right|$
$n\in B\setminus A$ ise $n>K\geq K_2$ olacağı için (bir $m\geq K+1$ için),
$\displaystyle\left| \sum_{n\in B\setminus A}a_n \right|\leq \sum_{n\in B\setminus A}|a_n|\leq \sum_{k=K+1}^m|a_k| <\frac{\varepsilon}{2}$ olur.
Ayrıca ($K\geq K_1$ olduğu için) $\displaystyle\left| \sum_{n\in A}a_n-S\right|=|s_K-S|<\frac{\varepsilon}{2}$ olur.
Bunlar, yukarıdaki eşitsizlikte yerine konduğunda:
$\displaystyle\left|\sum_{n\in B}a_n-S\right|< \varepsilon$ elde edilir.