∞∑n=1an mutlak yakınsak ve toplamı S olsun. Bir ε>0 sayısı verilsin.
(standart) Yakınsaklık tanımından, (sn=a1+a2+⋯+an olmak üzere) her n≥K1 için |sn−S|<ε2 olacak şekilde bir K1∈N+ vardır.
ayrıca ∑|an| yakınsak olduğundan (seriler için Cauchy kriterinden),
m≥n≥K2 iken ∑mk=n|ak|<ε2 olacak şekilde bir K2∈N+ vardır.
K=max{K1,K2} ve A={1,2,…,K} olsun. A⊂N+ ve A sonludur.
B⊇A, (B⊂N+) sonlu olsun.
|∑n∈Ban−S|=|(∑n∈Aan−S)+∑n∈B∖Aan|≤|∑n∈Aan−S|+|∑n∈B∖Aan|
n∈B∖A ise n>K≥K2 olacağı için (bir m≥K+1 için),
|∑n∈B∖Aan|≤∑n∈B∖A|an|≤m∑k=K+1|ak|<ε2 olur.
Ayrıca (K≥K1 olduğu için) |∑n∈Aan−S|=|sK−S|<ε2 olur.
Bunlar, yukarıdaki eşitsizlikte yerine konduğunda:
|∑n∈Ban−S|<ε elde edilir.