Question

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n}{a^n}(a\in\mathbb R^{>1})$ olan yakınsak dizisini çözünüz   

Answer 1

$$1+x+\cdots+x^{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$ oldugundan $$1+2x+\cdots nx^{n-1}=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2}$$ olur ve $$x+2x^2+\cdots+nx^n=x\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2}$$ olur. $x=1/a$ icin limit alirsak $$\dfrac{1}{a\left(1-\dfrac1a\right)^2}$$ elde edilir.

Comments

güzel, ben gene de daha ortaöğretimsini de yazayım :)

mobili bağladım pcye hahaha :)

---

Bu zaten ortaogretim. Toplam sembolu bile kullanmadim. O derece orta ogretim. Limiti mecbur alacagiz. 

---

ben lımıt almadım.

---

Kural'da limit aliniyor. Bu da almis oldugun anlamina geliyor. Sonsuz toplam limitsiz olmaz. 

---

haklisiniz.       

---

benım cevap daha hoş.

Answer 2

$$\boxed{\text{Kural:}\left|\dfrac{1}{a}\right|<1\quad\text{ise}\quad\quad1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^3}+.......+\dfrac{1}{a^n}+....=\dfrac{a}{a-1}}$$

$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n}{a^n}(a\in\mathbb R^{>1})=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{3}{a^3}+.......+\dfrac{n}{a^n}+....$$


$$S=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{3}{a^3}+.......+\dfrac{n}{a^n}+....$$
$$\cdots$$
$$S_1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^3}+.......+\dfrac{1}{a^n}+....$$
$$S_2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^3}+.......+\dfrac{1}{a^n}+....$$
$$S_3=\dfrac{1}{a^3}+.......+\dfrac{1}{a^n}+....$$

$$\text{bunları toplarsak istenen ifadeyi buluruz}\;\left(S_1+S_2+S_3+......=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n}{a^n}\right)$$
$$---------------------------$$
$$S_1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^3}+.......+\dfrac{1}{a^n}+....=\dfrac{1}{a}.\left(\dfrac{a}{a-1}\right)$$
$$S_2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^3}+.......+\dfrac{1}{a^n}+....=\dfrac{1}{a^2}.\left(\dfrac{a}{a-1}\right)$$

$$S_3=\dfrac{1}{a^3}+.......+\dfrac{1}{a^n}+....=\dfrac{1}{a^3}.\left(\dfrac{a}{a-1}\right)$$

$$\vdots$$

$$\text{bunları toplayıp , paranteze alalım}$$

$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n}{a^n}(a\in\mathbb R^{>1})=S_1+S_2+S_3+....=\dfrac{1}{a}.\left(\dfrac{a}{a-1}\right)+\dfrac{1}{a^2}.\left(\dfrac{a}{a-1}\right)+.....$$

$$=$$

$$\dfrac{1}{a}.\left(\dfrac{a}{a-1}\right)\underbrace{\left[1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^3}+......\right]}_{\left(\dfrac{a}{a-1}\right)}$$
$$\Longleftrightarrow$$
$$\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n}{a^n}(a\in\mathbb R^{>1})=\dfrac{1}{a}\left(\dfrac{a}{a-1}\right)^2}}}$$

Comments

Toplam icerisinde ayri bir toplam almak dogru mu peki? Ortaogretimsel olarak bunu aciklayabilir misin?

---

hocam neyi aciklayayim tam anlayamadim.bence dogru cok akil da karistirmiyor.

---

Elinde bir toplam dizisi var, o toplam dizisindeki elemanlari ayri bir toplam olarak genisletiyorsun ve genislettikten sonra yer degistiriyorsun. Hatta daha fazlasi da var.