Doğal sayılarda belirtilen değerleri alan analitik fonksiyon var mıdır?

Question

İlgili soruya yaptığım yorumda, $(a_n)$ bir dizi ise, her $n\in\mathbb{N}$  için $f(n)=a_n$ ve her $n<x<n+1$ için $f(x),\ a_n$ ile $a_{n+1}$ arasında kalacak şekilde, $C^\infty$ sınıfında (her noktada istendiği kadar türevlenebilen) bir $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonunun var olduğu iddiasında bulundum. (Bunu göstermek da bir soru olabilirdi)

Soru: $(a_n)$ herhangi bir (gerçel sayılarda) dizi olsun. (sadece) her $n\in\mathbb{N}$  için, $f(n)=a_n$ olacak şekilde bir (reel) analitik fonksiyon var mıdır?

(Bence vardır) Reel analitik: her noktada, o nokta merkezli pozitif yakınsaklık yarıçaplı bir kuvvet serisine eşit olan fonksiyon.

Comments

Bu onermenin dogrulugunun kaniti var mi ? Bence bu onerme yanlis. El sallayarak ve tam tanimlardan emin olmayarak soyle bir ornek vermek istedim. Butun yazilabilecek programlari siralayalim. $a_n$ bize verilen $n$. programin durup durmadigini soylesin. Bu durumda $a_n$ dizisi hesaplanamaz olacak, ama analitik fonksiyonlar hesaplanabilir. Cok emin olamadim ama

 

//Duzenleme

Galiba her analitik fonksiyon hesaplanabilir degil. Biraz daha baktiktan sonra onermenin dogruluguna ikna oldum. Ama hala tam bir kanit formule edebilmis degilim. Soyle bir fonksiyon insa etmek istedim ama analitikliginden emin degilim.
$f(x)=\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n \frac{\sin(2\pi (x - n))}{2\pi(x-n)}$

---

Bu toplamda çok ciddi yakınsaklık sorunları var.

$f(x)=\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n \frac{\sin(2\pi (x - n))}{2\pi(x-n)}=\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n \frac{\sin(2\pi x )}{2\pi(x-n)}$ olur. Harmoni seri gibi olduğu için çok az sayı için yakınsaktır.

Analitik olduğunu göstermek de bence olacak gibi değil.

Benim bulduğum çözümde, bir formül yok. Önemli bir bir teoremle işin çoğunu hallediyorum.

---

Sorunun kategorisini Akademik olarak değiştirdim. Sanırım ciddi kompleks analiz kullanmadan göstermek pek mümkün değil.

---

Conway in kitabında (Mittag-Leffler Teoreminden sonra) daha fazlası bir soru olarak sorulmuş.