$\emptyset\neq A\subseteq \mathbb{R}$ alttan sınırlı bir küme ve $x\in\mathbb{R},$ $A$ kümesinin bir alt sınırı olsun. $$\inf A=x\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists a_{\epsilon}\in A)(a_{\epsilon}<x+\epsilon).$$

Question

$\emptyset\neq A\subseteq \mathbb{R}$ alttan sınırlı bir küme ve $x$ gerçel sayısı, $A$ kümesinin bir alt sınırı olmak üzere $$\inf A=x\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists a_{\epsilon}\in A)(a_{\epsilon}<x+\epsilon)$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(\Rightarrow): (\exists \epsilon >0)(\forall a_{\epsilon} \in A)( x+ \epsilon \leq a_{\epsilon} )$ olduğunu varsayalım ve $\inf A=x$ olsun.

$ \begin{array}{rcl} (\exists \epsilon >0)(\forall a_{\epsilon} \in A)( x+ \epsilon \leq a_{\epsilon} ) & \Rightarrow & (\forall a_{\epsilon} \in A)(\exists\epsilon >0 )( x+ \epsilon \leq a_{\epsilon}) \\  & \Rightarrow & \begin{array}{c} \\  \left.\begin{array}{rr} x+\epsilon \in A^{a} \\ \\ x < x+ \epsilon \end{array}\right\} \Rightarrow \text{ Çelişki.} \end{array} \end{array}$

O halde $ (\forall \epsilon >0)(\exists a_{\epsilon} \in A)(a_{\epsilon} < x+ \epsilon).$

$(\Leftarrow): \emptyset\neq A\subseteq \mathbb{R} $, alttan sınırlı ve $x\in\mathbb{R}$ olsun. 

$\left.\begin{array}{rr} \emptyset\neq A\subseteq \mathbb{R} \text{ , alttan sınırlı} \Rightarrow (\exists x\in\mathbb{R})(x\in A^{a}) \Rightarrow (\forall a\in A)(x \leq a) \\ \\ \text{ Hipotez} \end{array}\right\} \Rightarrow \inf A =x.$

Answer 2

I. Yol: $(\Rightarrow):$ Bu kısmın kanıtı için olmayana ergi yöntemini kullanalım. $\inf A=x$ olsun ve  $$(\forall \epsilon >0)(\exists a_{\epsilon} \in A)(a_{\epsilon}<x+\epsilon)$$ önermesinin YANLIŞ olduğunu yani $$(\exists \epsilon >0)(\forall a_{\epsilon} \in A)( x+\epsilon\leq a_{\epsilon})$$ önermesinin DOĞRU olduğunu varsayalım.

$\left.\begin{array}{rr} (\exists \epsilon >0)(\forall a_{\epsilon} \in A)(x+\epsilon\leq a_{\epsilon}) \Rightarrow x+\epsilon\in A^{a}  \\ \\ \inf A=x< x+\epsilon \end{array}\right\} \Rightarrow \text{ Çelişki.}$

O halde varsayımımız yanlış yani $$(\forall \epsilon >0)(\exists a_{\epsilon} \in A)(a_{\epsilon}<x+\epsilon)$$ önermesi doğrudur.

 

II. Yol: $(\Rightarrow):$  $\inf A=x$  ve  $\epsilon>0$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \epsilon>0\Rightarrow \inf A=x<x+\epsilon\Rightarrow x+\epsilon\notin A^{a} \\ \\ \inf  A=x\end{array}\right\} \Rightarrow (\exists a_{\epsilon}\in A)(a_{\epsilon}<x+\epsilon).$

 

$(\Leftarrow):$ $x$ gerçel sayısından daha büyük bir gerçel sayının alt sınır olamayacağını gösterirsek kanıt biter. 

$x<y$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x<y\Rightarrow \epsilon :=y-x>0 \\ \\ \text{Hipotez}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists a\in A)(a<x+\epsilon=x+(y-x)=y)$

$\Rightarrow y\notin A^a.$

 

 

Not:  $A^{a}:=\{x|x, A\text{'nın alt sınırı}\}=\{x|\forall a(a\in A\Rightarrow x\leq a)\}$