Question

$\emptyset\neq A \subseteq \mathbb{R} $ ve alttan sınırlı bir altküme olmak üzere

$$``(\inf A =x)(x\notin A) \Rightarrow x\in D(A)"$$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

$\inf A=x\Rightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists a_{\epsilon}\in A)(x\leq a_{\epsilon}< x+\epsilon)$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\forall\epsilon>0)(a_{\epsilon}\in (x-\epsilon, x+\epsilon)\cap A) \\ \\ x\notin A\end{array}\right\}\Rightarrow(\forall\epsilon>0)(a_{\epsilon}\in [(x-\epsilon,x)\cup (x, x+\epsilon)]\cap A)$

$\Rightarrow(\forall\epsilon>0)([(x-\epsilon,x)\cup (x,x+\epsilon)]\cap A\neq \emptyset)$

$\Rightarrow x\in D(A).$