$$\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\int_{0}^{\infty}\frac{f(\frac1x)}{x^2}dx$$

Question

$f:(0,\infty)\to \mathbb{R}$ fonksiyonu integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere $$\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\int_{0}^{\infty}\frac{f\left(\frac1x\right)}{x^2}dx$$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

Verilen inteğralde $x=\frac 1y$  dönüşümü uygulayalım. $x=0,y=\infty, x=\infty$ iken $y=0$ olacak ve 

$dx=-\frac{1}{y^2}dy $   olup  

 $ I= \int_{0}^{\infty}f(x)dx=\int_{\infty}^0f(\frac 1y)(-\frac{dy}{y^2})=\int_{0}^{\infty}\frac{f(\frac 1y)}{y^2}.dy$  olacaktır.

Buradan da,  $ I= \int_{0}^{\infty}f(x)dx=\int_{0}^{\infty}\frac{f(\frac 1x)}{x^2}.dx$   önermesinin doğruluğu çıkar.