Question

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(2x)}{1+x^2}dx=?$$

Answer 1

$p$-test ile has olmayan integrallerin yakinsadigi gosterilebilir, ayrica  $$\int_0^1\frac{\ln x}{1+x^2}dx=\lim_{R \to \infty}\int_{1/R}^1\frac{\ln x}{1+x^2}dx$$ $$\stackrel{x\to \frac1x}{=}\lim_{R \to \infty}\int_{1}^R-\frac{\ln x}{1+x^2}dx=-\int_1^\infty\frac{\ln x}{1+x^2}dx$$ oldugundan ve $\ln(2x)=\ln x+\ln 2$ saglandigindan, istenen cevap  $$\ln 2 \int_0^\infty\frac{1}{1+x^2}dx=\ln2 \cdot \frac\pi2$$ olur.

Answer 2

Ben de bir yanıt ekleyeyim:

$$I=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(2x)}{1+x^2}dx$$ integralinde

$$x=\frac1y$$ dönüşümünü yaparsak  $$dx=-\frac1{y^2}dy$$ olur. Ayrıca $$x=0 \ \text{ için } \  y=\infty$$ ve $$x=\infty \text{ için } y=0$$ elde edilir. Bu bilgileri düzenlersek $$I=\int_{\infty}^{0}\frac{\ln(2y^{-1})}{1+\left(\frac{1}{y}\right)^2}\left(-\frac{1}{y^2}dy\right)=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(2y^{-1})}{1+y^2}dy$$ yani $$I=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(2x^{-1})}{1+x^2}dx$$  olur. Buradan da

$$I+I=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(2x)}{1+x^2}dx+\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(2x^{-1})}{1+x^2}dx$$

$$\Rightarrow$$

$$2I=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{\ln(2x)}{1+x^2}+\frac{\ln(2x^{-1})}{1+x^2}\right)dx$$

$$\Rightarrow$$

$$2I=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(2x)+\ln(2x^{-1})}{1+x^2}dx$$

$$\Rightarrow$$

$$2I=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln4}{1+x^2}dx$$

$$\Rightarrow$$

$$2I=2\ln2\cdot(\arctan x)|_{0}^{\infty}$$

$$\Rightarrow$$ $$I=\frac{\pi}{2}\cdot\ln2$$ elde edilir.