$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f\left(a+b-x\right)dx$$

Question

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ fonksiyonu integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere $$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f\left(a+b-x\right)dx$$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

$x=a+b-y$ dönüşümü yapılırsa $x=a$ için $y=b$

ve

$x=b$ için $y=a$ olup  $dx=-dy$ dir.

Verilen integral $$I=\int_a^bf(x)dx=\int_b^af(a+b-y)(-dy)=\int_a^bf(a+b-y)dy$$ olacaktır. Son integral $$I=\int_a^bf(a+b-x)dx$$ olduğundan istenen eşitlik sağlanır.