Question

Gerçel sayılar kümesinin boştan farklı ve alttan sınırlı her altkümesinin bir en büyük alt sınırının olduğunu kanıtlayınız.

Answer 1

$\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ kümesi alttan sınırlı ve $B:=\{-a|a\in A\}$ olsun.

$A, \text{ alttan sınırlı}\Rightarrow(\exists x\in\mathbb{R})(\forall a\in A)(x\leq a)$

$\left.\begin{array}{rr} \overset{?}{\Rightarrow}(\exists x\in\mathbb{R})(\forall a\in A)(-a\leq -x) \\ \\ B:=\{-a|a\in A\}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists x\in\mathbb{R})(\forall b\in B)(b\leq -x)$

$\Rightarrow -x,\ B \text{'nin bir üst sınırı}$

$\Rightarrow B,  \text{ üstten sınırlı}\ldots (1)$

Öte yandan

$$\left.\begin{array}{rr}\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}\Rightarrow (\exists a\in\mathbb{R})(a\in A) \\ \\ B:=\{-a|a\in A\}\end{array}\right\}\Rightarrow -a\in B\Rightarrow B\neq\emptyset\ldots (2)$$ olur. Buradan da 

$$(1),(2)\Rightarrow \emptyset\neq B\subseteq \mathbb{R} \text{ üstten sınırlı}$$

elde edilir. Dolayısıyla (bu linkte yer alan) SUP aksiyomu gereğince $B$ kümesinin en küçük üst sınırı vardır. Bu en küçük üst sınıra $\alpha$ diyelim yani $$\sup B=\alpha$$ olsun. Amacımız $$\inf A=-\alpha$$ olduğunu göstermek.

 Bu linkteki bilgiyi kullanırsak $$\alpha=\sup B=\sup (-A)=\sup((-1)\cdot A)=(-1)\cdot \inf A=-\inf A$$

$$\Rightarrow$$

$$\inf A=-\alpha$$ elde edilir.