∅≠A⊆R kümesi alttan sınırlı ve B:={−a|a∈A} olsun.
A, alttan sınırlı⇒(∃x∈R)(∀a∈A)(x≤a)
?⇒(∃x∈R)(∀a∈A)(−a≤−x)B:={−a|a∈A}}⇒(∃x∈R)(∀b∈B)(b≤−x)
⇒−x, B'nin bir üst sınırı
⇒B, üstten sınırlı…(1)
Öte yandan
∅≠A⊆R⇒(∃a∈R)(a∈A)B:={−a|a∈A}}⇒−a∈B⇒B≠∅…(2) olur. Buradan da
(1),(2)⇒∅≠B⊆R üstten sınırlı
elde edilir. Dolayısıyla (bu linkte yer alan) SUP aksiyomu gereğince B kümesinin en küçük üst sınırı vardır. Bu en küçük üst sınıra α diyelim yani sup olsun. Amacımız \inf A=-\alpha olduğunu göstermek.
Bu linkteki bilgiyi kullanırsak \alpha=\sup B=\sup (-A)=\sup((-1)\cdot A)=(-1)\cdot \inf A=-\inf A
\Rightarrow
\inf A=-\alpha elde edilir.