Processing math: 37%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

Gerçel sayılar kümesinin boştan farklı ve alttan sınırlı her altkümesinin bir en büyük alt sınırının olduğunu kanıtlayınız.

Lisans Matematik kategorisinde (11.6k puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

AR kümesi alttan sınırlı ve B:={a|aA} olsun.

A, alttan sınırlı(xR)(aA)(xa)

?(xR)(aA)(ax)B:={a|aA}}(xR)(bB)(bx)

x, B'nin bir üst sınırı

B, üstten sınırlı(1)

Öte yandan

AR(aR)(aA)B:={a|aA}}aBB(2) olur. Buradan da 

(1),(2)BR üstten sınırlı

elde edilir. Dolayısıyla (bu linkte yer alan) SUP aksiyomu gereğince B kümesinin en küçük üst sınırı vardır. Bu en küçük üst sınıra α diyelim yani sup olsun. Amacımız \inf A=-\alpha olduğunu göstermek.

 Bu linkteki bilgiyi kullanırsak \alpha=\sup B=\sup (-A)=\sup((-1)\cdot A)=(-1)\cdot \inf A=-\inf A

\Rightarrow

\inf A=-\alpha elde edilir.

 

(11.6k puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,101,523 kullanıcı