$\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ sınırlı olmak üzere $$\alpha <0\Rightarrow \sup(\alpha \cdot A)=\alpha\cdot \inf A$$ olduğunu gösteriniz.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
107 kez görüntülendi


2, Eylül, 2016 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,725 puan) tarafından  soruldu
27, Ekim, 2016 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

Bos kume de var mi?

Haklısın yok.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(\forall a \in A)(\inf A \leq a)$ $\Rightarrow(\forall \alpha.a \in \alpha.A )(\alpha.a \geq \alpha.\inf A)$

$\Rightarrow \alpha.\inf A \in (\alpha.A)^{a} \dots(1)$

$(\alpha.A \neq \emptyset)((\alpha.A)^{Ü} \neq \emptyset) \Rightarrow \sup (\alpha.A)\in (\alpha A)^{Ü} \ldots(2)$

$(1),(2) \Rightarrow \alpha. \inf A \leq \sup (\alpha.A) \ldots (*)$

$ \alpha.\inf A \geq^{?} \sup (\alpha.A) \ldots (**)$

27, Ekim, 2016 burcuayhan (194 puan) tarafından  cevaplandı
27, Ekim, 2016 burcuayhan tarafından düzenlendi

İspat zincirinde sıkıntılar var.

Evet hocam kontrol ettim. İspatın ikinci kısmında geçişlerde sıkıntı varmış.

Bu haliyle ispat zinciri hala sağlıklı değil.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$A\subset \mathbb R$ bos olmayan ve usten ve alttan sinira sahip olan bir kume olsun. Bu durumda $\alpha A$ kumesi de ayni ozelliklere sahip olur.

Her $a \in A$ icin $$\inf A \le a$$ oldugundan ve $\alpha<0$ oldugundan $$\alpha a \le \alpha\inf A$$ olur. Supremumun tanimindan $$\sup(\alpha A) \le \alpha\inf A$$ oldugunu elde ederiz. 

Her $a \in A$ icin $$\alpha a \le \sup(\alpha A)$$ olur ve $\alpha <0$ oldugundan $$\alpha^{-1}\sup(\alpha A) \le a$$ olur. Infimumun tanimindan $$\alpha^{-1}\sup(\alpha A) \le \inf A$$ yani $$\sup(\alpha A) \ge \alpha \inf A$$ olur.

27, Ekim, 2016 Sercan (24,163 puan) tarafından  cevaplandı
...