Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi

Her metrik uzayın bir normal uzay olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 1k kez görüntülendi

Her metrik uzay $T2$ ya da Hausdorff uzayı olduğundan ve Hausdorff uzayı da normal uzay olduğundan her metrik uzayın normal uzay olduğunu söyleyemez miyiz?

Her kompakt Hausdorff uzay normal uzaydır. Kanıtı burada mevcut. Dolayısıyla her Hausdorff uzayı -kompakt olmayabileceğinden- normal olmayabilir.

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Kanıt: $E,F\in\mathcal{C}(X,\tau)$  ve  $E\cap F=\emptyset$ olsun.

$\left.\begin{array}{r} (E,F\in\mathcal{C}(X,\tau))(E\cap F=\emptyset) \Rightarrow d(E,F)>0\Rightarrow \epsilon:=\frac{d(E,F)}{2}>0\\ \\ \left( \mathcal{A}_1:=\left\{ B\left(x,\epsilon\right) |x\in E\right\} \subseteq \tau _{d}\right)\left( U:=\cup \mathcal{A}_1\right) \\ \\ \left( \mathcal{A}_2:=\left\{ B\left(y,\epsilon\right) |y\in F\right\} \subseteq \tau _{d}\right)\left( V:=\cup \mathcal{A}_2\right)\end{array}\right\} \Rightarrow$

 

$\left.\begin{array}{c}\Rightarrow \left( U\in \mathcal{U}\left( E\right) \right) \left( V\in\mathcal{U}\left( F\right) \right) \left( U\cap V=\emptyset \right).\end{array}\right.$

 

Not:  $d(E,F):=\inf\left\{d(x,y)\Big{|}(x\in E)(y\in F)\right\}$

(11.4k puan) tarafından 

$U\cap V=\emptyset$ olduğunu göstermeye çalışın.

Kanıttaki yanlışı bulunuz.
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Literatürde şöyle bir kanıt daha var: 

$(X,d)$   metrik uzayının kapalı ve ayrık iki alt kümesi  $E$   ve   $F$  olsun. Göstereceğiz ki $E$  ve  $F$  yi içeren  ayrık  $U$   ve   $V$   açık alt kümeleri vardır.

$d(x,E):=\inf\left\{\tau(x,e)\Big{|}(x\in X)(e\in E)\right\}$    olmak üzere $$f(x)=d(x,E)-d(x,F)$$  ile tanımlanan  $f:X\rightarrow R$ fonksiyonunu gözönüne alalım. Bu fonksiyon sürekli olduğundan $U=f^{-1}(0,\infty) $   ve    $V=f^{-1}(-\infty,0) $  kümeleri açık ve ayrık alt kümeler olup istenilen özellikleri sağlar. Dolayısıyla $(X,d)$  metrik uzayı bir $T_4$ uzayıdır(normal uzay).

(2.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme
İlk verdiğimiz yanıt yanlıştı. Şimdi doğru olan yanıtı verelim.

$E,F\in\mathcal{C}(X,\tau_d)$  ve  $E\cap F=\emptyset$ olsun.
$\left.\begin{array}{r} (x\in E)(y\in F)  \\ \\ E\cap F=\emptyset \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{c} (x\notin F)(y\notin E) \\ \mbox{} \\ E,F\in\mathcal{C}(X,\tau_d)\end{array}\right\}\Rightarrow \!\!\!\!\!\end{array}$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (d(x,F)>0)(d(y,E)>0) \\ \\ U:=\bigcup_{x\in E} B\left(x,\frac{d(x,F)}{2}\right) \\ \\ V:=\bigcup_{y\in F} B\left(y,\frac{d(y,E)}{2}\right)\end{array}\right\} \Rightarrow (U\in\mathcal{U}(E))(V\in\mathcal{U}(F))(U\cap V=\emptyset).$

Bu $U$ ve $V$ açık komşulukları -oluşturuluşları gereği- ayrıktır. Şöyle ki:

$U\cap V\neq \emptyset$

olduğunu varsayarsak

$U\cap V\neq \emptyset\Rightarrow (\exists z\in X)(z\in U\cap V)$

$\Rightarrow (z\in U)(z\in V)$

$\Rightarrow (\exists x\in E)\left(z\in B\left(x,\frac{d(x,F)}{2}\right)\right)(\exists y\in F)\left(z\in B\left(y,\frac{d(y,E)}{2}\right)\right)$

$\Rightarrow \left(d(x,z)<\frac{d(x,F)}{2}\leq\frac{d(x,y)}{2}\right)\left(d(y,z)<\frac{d(y,E)}{2}\leq\frac{d(y,x)}{2}=\frac{d(x,y)}{2}\right)$

$\Rightarrow d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)<\frac{d(x,y)}{2}+\frac{d(x,y)}{2}=d(x,y)$

$\Rightarrow d(x,y)<d(x,y)$

çelişkisi elde edilir.
(11.4k puan) tarafından 
20,219 soru
21,752 cevap
73,354 yorum
1,988,280 kullanıcı