İlk verdiğimiz yanıt yanlıştı. Şimdi doğru olan yanıtı verelim.
E,F\in\mathcal{C}(X,\tau_d) ve E\cap F=\emptyset olsun.
\left.\begin{array}{r} (x\in E)(y\in F) \\ \\ E\cap F=\emptyset \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{c} (x\notin F)(y\notin E) \\ \mbox{} \\ E,F\in\mathcal{C}(X,\tau_d)\end{array}\right\}\Rightarrow \!\!\!\!\!\end{array}
\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (d(x,F)>0)(d(y,E)>0) \\ \\ U:=\bigcup_{x\in E} B\left(x,\frac{d(x,F)}{2}\right) \\ \\ V:=\bigcup_{y\in F} B\left(y,\frac{d(y,E)}{2}\right)\end{array}\right\} \Rightarrow (U\in\mathcal{U}(E))(V\in\mathcal{U}(F))(U\cap V=\emptyset).
Bu U ve V açık komşulukları -oluşturuluşları gereği- ayrıktır. Şöyle ki:
U\cap V\neq \emptyset
olduğunu varsayarsak
U\cap V\neq \emptyset\Rightarrow (\exists z\in X)(z\in U\cap V)
\Rightarrow (z\in U)(z\in V)
\Rightarrow (\exists x\in E)\left(z\in B\left(x,\frac{d(x,F)}{2}\right)\right)(\exists y\in F)\left(z\in B\left(y,\frac{d(y,E)}{2}\right)\right)
\Rightarrow \left(d(x,z)<\frac{d(x,F)}{2}\leq\frac{d(x,y)}{2}\right)\left(d(y,z)<\frac{d(y,E)}{2}\leq\frac{d(y,x)}{2}=\frac{d(x,y)}{2}\right)
\Rightarrow d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)<\frac{d(x,y)}{2}+\frac{d(x,y)}{2}=d(x,y)
\Rightarrow d(x,y)<d(x,y)
çelişkisi elde edilir.