Kanıt: x∉F∈C(X,τ) olsun.
x∉F∈C(X,τ)⇒d(x,F)>0U:=⋃y∈FB(y,d(x,F)2)V:=B(x,d(x,F)2)}⇒
⇒(U∈U(F))(V∈U(x))(U∩V=∅)
Bu U ve V açık komşulukları -oluşturuluşları gereği- ayrıktır. Şöyle ki:
U∩V≠∅
olduğunu varsayarsak
U∩V≠∅⇒(∃z∈X)(z∈U∩V)
⇒(z∈U)(z∈V)
⇒(∃y∈F)(z∈B(y,d(x,F)2))(z∈B(x,d(x,F)2))
⇒(d(y,z)<d(x,F)2≤d(x,y)2)(d(x,z)<d(x,F)2≤d(x,y)2)
⇒d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)<d(x,y)2+d(x,y)2=d(x,y)
⇒d(x,y)<d(x,y)
çelişkisi elde edilir.