Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
377 kez görüntülendi

$X$ sonsuz bir küme ve $\tau=\left\{A\big{|}|\setminus A|<\aleph_0\right\}\cup \{\emptyset\}$ olmak üzere $(X,\tau)$ topolojik uzayının regüler uzay olmadığını gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 377 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$|X|\geq \aleph_0$ ve $\tau=\left\{A\big{|}|\setminus A|< \aleph_0\right\}\cup \{\emptyset\}$ olsun ve $(X,\tau)$ topolojik uzayının regüler uzay olduğunu varsayalım.

$\left.\begin{array}{rr} x\notin F\in\mathcal{C}(X,\tau) \\ \\ (X,\tau), \text{ regüler}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(F))(\exists V\in\mathcal{U}(x))(U\cap V=\emptyset)$

$\Rightarrow (|X\setminus U|<\aleph_0)(|X\setminus V|<\aleph_0)(X\setminus (U\cap V)=X\setminus\emptyset)$

$\Rightarrow (|(X\setminus U)\cup (X\setminus V)|<\aleph_0)((X\setminus U)\cup (X\setminus V)=X)$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow |X|=|(X\setminus U)\cup (X\setminus V)|<\aleph_0 \\ \\ |X|\geq \aleph_0\end{array}\right\}\Rightarrow \text{Çelişki.}$
(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,207 soru
21,731 cevap
73,297 yorum
1,896,447 kullanıcı