Question

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi ve $\tau=\langle \{[a,b)|(a,b\in\mathbb{R})(a<b)\} \rangle$ olmak üzere $(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayının bir regüler uzay olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$x\notin F\in C(X,\tau)$  olsun. Amacımız $F$ kümesinin ve $x$ noktasının ayrık açık komşuluklarının var olduğunu göstermek.

$x\notin F\in C(X,\tau) \Rightarrow x\in X\setminus F\in \tau \Rightarrow (\exists I\subseteq\mathbb{R})(x\in X\setminus F=\bigcup_{\alpha\in I} [a_{\alpha},b_{\alpha}))$

 
$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists \alpha_0\in I)(x\in [a_{\alpha_0},b_{\alpha_0})\subseteq \bigcup_{\alpha\in I} [a_{\alpha},b_{\alpha})=X\setminus F) \\ \\ (U:=X\setminus [a_{\alpha_0},b_{\alpha_0}))(V:=[a_{\alpha_0},b_{\alpha_0}))\end{array}\right\}\Rightarrow $

 

$\Rightarrow (U\in\mathcal{U}(F))(V\in \mathcal{U}(x))(U\cap V=\emptyset).$