Kanıttaki yanlışı bulunuz.

Question

İlgili soruda verilen kanıt yanlış. Yanlışın nerede olduğunu tespit ediniz.

Answer 1

Metrik uzaylarda kapalı ayrık iki küme arasındaki uzaklık her zaman pozitif olmayabilir. Örneğin $\mathbb{R}^2$'de $$A:=\{(x,0)|x\geq 0\}$$ ve $$B:=\left\{\left(x,\frac1x\right)\Big{|}x>0\right\}$$ kümeleri kapalı ayrık kümeler olmalarına karşın bu iki küme arasındaki uzaklık $$d(A,B)=0$$ dır. Şöyle ki:

$$\begin{array}{rcl} d(A,B) & = & \inf\left\{\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\Big{|}((x_1,x_2)\in A)((y_1,y_2)\in B)\right\} \\ \\  & = & \inf\left\{\sqrt{(x-x)^2+\left(0-\frac1x\right)^2}\Big{|}x>0\right\} \\ \\ & = & \inf\left\{\frac1x\Big{|}x>0\right\} \\ \\ & = & 0.\end{array}$$