Dizilerde yakınsaklık: $a_{n+1}=ua_n+va_{n-1}$

Question

Soru:

$a_0,a_1$ terimleri belli olan $a_{n+1}=ua_n+va_{n-1}$ dizisini tanımlayalım;

Eğer $(a_n)_n$ yakınsak ise  ve  limiti  $0$'dan farklı ise;

$u,v$ sayılarına bağlı hangi bilgileri elde edebiliriz?

Çabam 1:

$(a_n)_n$  ,  $L$ 'ye yakınsasın, tanım gereği;

$\epsilon>0$ verilsin ve  $n\ge N(\in\mathbb N)$  olacak şekilde bir $N$ vardır ki;

$$|a_n-L|<\epsilon$$ olur.

$$a_{n+1}=ua_n+va_{n-1}\quad\to\quad \dfrac{a_{n+1}-va_{n-1}}{u}$$

Dolayısıyla;

$$|a_n-L|=\left|\dfrac{a_{n+1}-va_{n-1}}{u}-L\right|=\left|\dfrac{a_{n+1}-va_{n-1}}{u}+a_n-a_n-L\right|$$ Dolayısıyla;

$$|a_n-L|=\left|\dfrac{a_{n+1}-va_{n-1}-ua_n}{u}+a_n-L\right|\le\underbrace{\left|\dfrac{a_{n+1}-va_{n-1}-ua_n}{u}\right|}_{0}+|a_n-L|<\epsilon$$
olur, demekki;

$$\dfrac{a_{n+1}-va_{n-1}-ua_n}{u}$$  İfadesinin tanımlı olması gerek  dolayısıyla, $u\neq0$

Çabam 2:

Dizilerin yakınsak tanımı kullanılarak $(a_n)_n$ için yakınsayan bir dizi için seçilen $N$ mantığını kullanarak, $(a_{n-1})_n$ dizisi için $N=N+1$ seçersek bu da yakınsar ve $N=N-1$ seçersek $(a_{n+1})_n$ de aynı $L$ sayısına yakınsar dolayısıyla;

$$\lim\limits_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to \infty}ua_n+\lim\limits_{n\to \infty}va_{n-1}$$

Ve

$$L=uL+vL$$ gelir;

$$1=u+v$$ gelir.

$2.$  Çabamın sonucu daha kuvvetli, peki matematık mantığı ile bu yöntemlerde bir hatam var mı?

Comments

Bu soruyu sormuştum daha önce

---

http://matkafasi.com/10671/dizilerde-limit

cevabı da var

---

sağol.