Olaya tarihsel bakalım, ex'keşfedilmeden e keşfedilmişti. "bileşik faiz hesabı" araştırılırken tesadüfen bulundu.O zaman ex'i sadece e'nin limn→∞(1+1n)n tanımını ve bunun gibi elementer yöntemleri kullanarak bulalım.
Aradığımız sonuç(∀x∈N):
limn→∞(1+xn)n=ex
Aşağıda çözüm verilmiştir ancak merak ettiğim konu, başka hangi yöntemlerle çözebilirdik?Taylor serileri?Cebirsel oynamalar değiştirmeler vs. ve soruya sadece soru degil, bilgi paylaşımı olarak da bakabiliriz.
/////////////////////////////////////////////////
METOD∗1:
(1+xn)n≤(1+xxn)xn
olduğundan (aşağıda ispatı var.)
ve
(1+1n)n≤e
olduğundan (dizi artan ve üstten "e" ile sınırlı)
(1) ve (2) birleştirilirse;
(1+xn)n≤(1+1n)nx=[(1+1n)n]x≤ex
olduğundan dolayı ((1+xn)n)n dizisi üstten sınırlı ve monoton artan olduğundan dizinin limiti vardır.O zaman bu limiti bulalım geriye kalan tek şey şu eşitliğin doğruluğunu göstermek;
limn→∞(1+xn)n=limn→∞[(1+xn)n/x]x=[limn→∞(1+xn)n/x]x=ex
n=xm alırsak, ((1+xn)n)n dizisi için bir ([(1+1m)m]x)m altdizisi buluruz.
Yakınsak dizilerin altdizileri de yakınsaktır ve aynı limite yakınsarlar.
Bu teoremden dolayı ;
limm→∞[(1+1m)m]x=[limm→∞(1+1m)m]x=ex=limn→∞(1+xn)n
Q.E.D.◻
/////////////////////////////////////////////////
Açıklamalar:
Açıklama(1):
(1+xn)n≤(1+1n)xn
Olur çünki p≥1∈Q ve x≥0 iken 1+px≤(1+x)polur.
1+px≤(1+x)p bernoulli eşitsizliği.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Açıklama(2):
xn=(1+1n)n ve yn=(1+1n)n+1 olsun,
(xn)n monoton artan ve (yn)n monoton azalan olduğundan ve 2<xn≤yn<4 olduğundan 2 dizinin de limiti vardır, xn'in limitine x ve yn'kine y dersek;
2<xn≤x≤y≤yn<4
ve
limn→∞(1+1n)n=x=y=limn→∞(1+1n)n.limn→∞(1+1n)⏟1
x=y olur ve bu limit e diye adlandırılır.(x=y=e)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Açıklama(3):
ϵ>0 verilsin, öyle bir n>N∈N göstergeci vardırki, eğer (xn)n dizisi bir a reel sayısına yakınsıyorsa;
|xn−a|<ϵHer ϵ için sağlanır.
f(n):N→N monoton artan bir dizi ise (f(n)≥n)
(xf(n))n alt dizisi de aynı a sayısına yakınsar çünki f(n)≥n≥N∈N göstergeci bulunur.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Açıklama(4):
[limm→∞(1+1m)m] limiti vardır ve e'dir dolayısıyla limit kuralları gereği x dereceden üst alırsak limit dışarı çıkabilir ve tersi de doğrudur.(limit varken...)
/////////////////////////////////////////////////
METOD∗2(DENEME):
limn→∞(1+xn)n 'nin neye benzediğini bulalım;
(1+xn)n=u diyelim,
nln(1+xn)=lnu→elnun=1+xn→elnun−x−1n=1+1n→(elnun−x−1n)n=(1+1n)n
Limit alırsak,
limn→∞(elnun−x−1n)n=limn→∞(1+1n)n
Sağ taraf e'nin tanımı ve sol tarafta binom yaparsak;
\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{\frac{lnu}{n}}-\dfrac{x-1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(u\right)+\lim\limits_{n\to\infty}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\dbinom{n}{i}\left(e^{\frac{lnu}{n}}\right)^{n-i}\left(-\dfrac{x-1}{n}\right)^i\right)
Burada en sağ tarafa başta 0 diyesim geldi ama diyemiyoruz e^x=e geliyor, bu son kısmı analiz edemedim.
/////////////////////////////////////////////////
METOD* 3(DENEME):
Taylor serileri o zamanlar biliniyordu, e^x diye bir fonksiyon için sonsuz polinom analızı yapılırsa e^x=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{x^i}{i!}
ama burada da şunları göstermek çok zorlaşıyor;
e^x=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{x^i}{i!}=\left(\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{1}{i!}\right)^x
/////////////////////////////////////////////////