Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
1.6k kez görüntülendi

Olaya tarihsel bakalım, ex'keşfedilmeden e keşfedilmişti. "bileşik faiz hesabı" araştırılırken tesadüfen bulundu.O zaman ex'i sadece e'nin limn(1+1n)n tanımını ve bunun gibi elementer yöntemleri kullanarak bulalım.

Aradığımız sonuç(xN):
limn(1+xn)n=ex

Aşağıda çözüm verilmiştir ancak merak ettiğim konu, başka hangi yöntemlerle çözebilirdik?Taylor serileri?Cebirsel oynamalar değiştirmeler vs. ve soruya sadece soru degil, bilgi paylaşımı olarak da bakabiliriz.

/////////////////////////////////////////////////


METOD1:

(1+xn)n(1+xxn)xn

olduğundan (aşağıda ispatı var.)

ve

(1+1n)ne

olduğundan (dizi artan ve üstten "e" ile sınırlı)

(1)  ve  (2) birleştirilirse;

(1+xn)n(1+1n)nx=[(1+1n)n]xex

olduğundan dolayı  ((1+xn)n)n dizisi üstten sınırlı ve monoton artan olduğundan dizinin limiti vardır.O zaman bu limiti bulalım geriye kalan tek şey şu eşitliğin doğruluğunu göstermek;

limn(1+xn)n=limn[(1+xn)n/x]x=[limn(1+xn)n/x]x=ex

 
n=xm alırsak, ((1+xn)n)n dizisi için bir ([(1+1m)m]x)m altdizisi buluruz.
Yakınsak dizilerin altdizileri de yakınsaktır ve aynı limite yakınsarlar.

Bu teoremden dolayı ;

limm[(1+1m)m]x=[limm(1+1m)m]x=ex=limn(1+xn)n

Q.E.D.

/////////////////////////////////////////////////


Açıklamalar:

Açıklama(1):
(1+xn)n(1+1n)xn
Olur çünki p1Q ve x0 iken 1+px(1+x)polur.

1+px(1+x)p  bernoulli eşitsizliği.


Açıklama(2):

xn=(1+1n)n  ve  yn=(1+1n)n+1  olsun,

(xn)n monoton artan ve (yn)n monoton azalan olduğundan ve 2<xnyn<4 olduğundan 2 dizinin de limiti vardır, xn'in limitine x ve yn'kine y dersek;

2<xnxyyn<4

ve

limn(1+1n)n=x=y=limn(1+1n)n.limn(1+1n)1

x=y olur ve bu limit e diye adlandırılır.(x=y=e)


Açıklama(3):

ϵ>0 verilsin, öyle bir n>NN göstergeci vardırki, eğer (xn)n dizisi bir a reel sayısına yakınsıyorsa; 

|xna|<ϵHer ϵ için sağlanır.

f(n):NN monoton artan bir dizi ise (f(n)n)

(xf(n))n alt dizisi de aynı a sayısına yakınsar çünki f(n)nNN göstergeci bulunur.

Açıklama(4):

[limm(1+1m)m]  limiti vardır ve e'dir dolayısıyla limit kuralları gereği x dereceden üst alırsak limit dışarı çıkabilir ve tersi de doğrudur.(limit varken...)

/////////////////////////////////////////////////

METOD2(DENEME):

limn(1+xn)n 'nin neye benzediğini bulalım;

(1+xn)n=u diyelim,

nln(1+xn)=lnuelnun=1+xnelnunx1n=1+1n(elnunx1n)n=(1+1n)n

Limit alırsak,
limn(elnunx1n)n=limn(1+1n)n

Sağ taraf e'nin tanımı ve sol tarafta binom yaparsak;


\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{\frac{lnu}{n}}-\dfrac{x-1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(u\right)+\lim\limits_{n\to\infty}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\dbinom{n}{i}\left(e^{\frac{lnu}{n}}\right)^{n-i}\left(-\dfrac{x-1}{n}\right)^i\right)
Burada en sağ tarafa başta 0 diyesim geldi ama diyemiyoruz e^x=e geliyor, bu son kısmı analiz edemedim.

/////////////////////////////////////////////////
METOD* 3(DENEME):

Taylor serileri o zamanlar biliniyordu, e^x diye bir fonksiyon için sonsuz polinom analızı yapılırsa e^x=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{x^i}{i!}

ama burada da şunları göstermek çok zorlaşıyor;

e^x=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{x^i}{i!}=\left(\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{1}{i!}\right)^x

/////////////////////////////////////////////////



Lisans Matematik kategorisinde (7.9k puan) tarafından  | 1.6k kez görüntülendi
20,299 soru
21,844 cevap
73,549 yorum
2,756,519 kullanıcı