Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
419 kez görüntülendi

http://matkafasi.com/106226/%24e%24nin-limit-tanimini-kullanarak-bulmak-limits_-infty-right

Buradaki konunun devamı olarak aşağıdaki bir kaç örneğe bakalım ve daha sonra bir hipotez var, bu hipotez nasıl kanıtlanır?Limitlerde öncelik nedir?(ilgili link:);

$$\forall x\in \mathbb R; \\ \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+ \dfrac{x}{n} \right)^n=e^x\tag1$$

$$b,d\in\mathbb R \\  \lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n+b}{n+d} \right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{b-d}{n+d}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{1+b/n}{1+d/n} \right)^n=\dfrac{e^b}{e^d}=e^{b-d} \tag2$$

$(2)$ 'yi biraz daha kurcalarsak ve $e$ 'nin tanımına uygun hale getirirsek,


$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{\overbrace{n\dfrac{b-d}{n+d}}^{x(n)}}{n}\right)^n=e^{b-d}$$

Buradan şu hipotez çıkıyor ;

$$\color{green}{\boxed{\boxed{\color{black}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{f(n)}{g(n)}\right)^{h(n)}=e^{^{\left(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(n)h(n)}{g(n)}\right)}}}}}}$$

Bunu görüp ispatlaması belki çok kolay ama göremedim, denemem şöyle:

$*:$ Tüm terimlere limit'i ekledim ve bu sayede hepsini oynayabilceğim bir duruma getirmek istedim ve terse doğru gidip başdaki ile aynısı olduğunu göstermek istedim;

$$\left(\lim\limits_{n\to\infty}1+\dfrac{\lim\limits_{n\to\infty}f(n)}{\lim\limits_{n\to\infty}g(n)}\right)^{\lim\limits_{n\to\infty}h(n)}\stackrel{1}{=}\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{f(n)}{g(n)}\right)\right)^{\lim\limits_{n\to\infty}h(n)}\stackrel2=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{f(n)}{g(n)}\right)^{\lim\limits_{n\to\infty}h(n)}\stackrel3=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{f(n)}{g(n)}\right)^{h(n)}$$

$1:$ $f$ ve $g$'nin ayrı limitleri varsa bunu toplayabilirim ve 2. eşitliği yazabilirim.(limit kuralları)
 Burada üst tam sayı olsaydı geçiş garanti olacaktı ama limitin ne oldugunu bilmeden geçiş oluyor mu emın olamadım ama gene de geçtım.

$2:$ Burada üst tam sayı olsaydı geçiş garanti olacaktı ama limitin ne oldugunu bilmeden geçiş oluyor mu emın olamadım ama gene de geçtım.(https://tr.wikipedia.org/wiki/Limit_hesaplama_kurallar%C4%B1)

$3:$ Limit ortak olabilir, sadece notasyondan ibaret.


Bunlar gösteriyorki reel sayılarda yapabildiğim  $(1)$ eşitliğini hipoteze genişletebilirim.


Soru:İspat deneme şeklimden emin ve hiç tatmin olamadım, nasıl buluruz ve bu hipotez dogru mu dogruysa ıspatı nedır merak edıyorum.

Lisans Matematik kategorisinde (7.8k puan) tarafından  | 419 kez görüntülendi

f g h nin cinsi de muhim bunlar polinom olmak zorunda mi yoksa baska fonksiyonlarda da bu durum olur mu

19,696 soru
21,399 cevap
71,870 yorum
220,169 kullanıcı