Limit için n sonsuza giderkenki sıralama mantığı

Question

1. $n^{n}> n!$

2. $n!>a^{n}$

3. $a^{n}>n^a$

dolayısıyla;

$$a\in\mathbb R^+\quad için\quad\boxed{\boxed{n^{n}> n!>a^{n}>n^a}}\quad olur$$

bu sıralamayı nasıl ispatlayabiliriz teşekkürler

Comments

Her birinin türevlerini alarak, artma hızlarını inceleyebilirsiniz.

---

hocam kaç noktada turevlerıne bakmamız lazımkı sıralayalım egimlerini karşılaştıralım

---

Ornegin   (aciklamalri pek yok ama anlasilir)
$3^n/2^n=(3/2)^n\to \infty$
ya da $n!\leq n^{n-1}$ oldugundan $\frac{n^n}{n!}>n\to \infty$

Answer 1

1. eşitsizlik bariz;

$n^n=\overbrace{n.n.n.n....n}^{n\;terim}>n!=\overbrace{n.(n-1).(n-2).....1}^{n\; terim}$


2. eşitsizlik;

$n!>a^n\quad a\in R^+$ olmak üzre;

Matematiksel tümevarım yaparsak,


$n!>a^n$  dogru ise;


$(n+1)n!>aa^{n}$  da doğrudur çünki;

$\dfrac{n+1}{a}n!>a^n$  için 


$\dfrac{n+1}{a}$  hep $1$'den büyüktür; $(n>>a)$

3.eşitsizlik;

İspat için şu fonksiyona bakıp maksimalitesini inceleyelim;

$f(x)=\dfrac{lnx}{x}\quad\to\quad f'(x)=\dfrac{1-lnx}{x^2}$

$x=e$ iken maksimum

$x<e$ iken $f'$ pozitiv, $x>e$ iken $f'$ negativ dolayısıyla fonksiyon grafiği $>e$ için azalan.

O zaman $n>a$ için      $\dfrac{lna}{a}>\dfrac{lnn}{n}$  olur dolayısıyla

$lna^n>lnn^a\quad\to\quad a^n>n^a$ ispatlanır. $\Box$