Dizilerde limit eğer varsa, biricikliğini ispatlayınız.

Question

limitin biricikligini göstermeye calisiyordum ama tam gösteremedim


Teorem.

Bir dizi en fazla bir sayıya yakınsayabilir.Yani bir dizinin en fazla bir limiti olabilir.


Olmayana ergi yaparak $a_i=a_1,a_2,.....,a_n$  yani dizinin n tane limiti oldugunu varsaydım daha sonra bunlara gerek olmadan sadece 2 limit noktası varsayıp çürütmeyi denedim 

$a_1\neq a_2$ olcak şekilde limit noktalarımı seçtim, dizi yakınsıyorsa ve sonsuza gıderken her 2 noktayada aynı anda yakınsayamayacagından dızının tek lımıtı vardır dedım ama tam matematıge dokemedım .

Answer 1

Tanım:

$(x_n)_n$  bir dizi ve $a\in\mathbb R$   olsun. Eğer her $\epsilon>0$   için,

$n>N\Rightarrow|x_n-a|<\epsilon$  önermesini sağlayan bir $N\in\mathbb N$ varsa , o zaman $(x_n)_n$  dizisi $a$'ya yakınsar.


$2$ limit var ise ,$a\neq b$  olan 2 limit noktası varsayalım ve senin yapmaya çalıştığın gibi olmayana ergi yapalım.



Buradaki gibi $a\neq b$ alalım ve görüldüğü üzre $2\epsilon=b-a=|a-b|$   olur,

Tanım gereği şunları yazarım,

$(x_n)_n$  dizisi $a$'ya yakınsadığında öyle $N_1$ doğal sayısı vardır ki,  her $n>N_1$  için 

$|x_n-a|<\epsilon$  

Ve


$(x_n)_n$  dizisi $b$'ye yakınsadığında öyle $N_2$ doğal sayısı vardır ki,  her $n>N_2$  için 

$|x_n-b|<\epsilon$  

eşitsizlikleri doğrudur.

$n$'yi hem $N_1$'den hem de  $N_2$ 'den büyük seçelim ve hesaplayalım,


$|a-b|=|a-b+x_n-x_n|=|x_n-b+a-x_n|$  olur  ve üçgen eşitsizliğinden dolayı,

http://matkafasi.com/99514/basit-analiz-ispatlari-mutlak-deger

$|a-b|=|a-b+x_n-x_n|=|x_n-b+a-x_n|\le |x_n-a|+|x_n-b|<\epsilon+\epsilon=2\epsilon=|a-b|$

$|a-b|<|a-b|$ olamayacagından olmayan şey çürütülmüştür.Limit biricikmiş  $\Box$


Peki neden sadece 2 tane aldık? 3 tane limit varsayımı için bu doğru olur mu?

Answer 2

Teorem: 
$s_n$ dizisi hem $s$ hem de $t$ degerlerine yakinsiyorsa $s=t$ olmali.

Ispat:
$\epsilon> 0$ verilsin $s$ ve $t$ degerleri $s_n$ dizisi icin limit degerleri oldugundan  oyle $N_1$ ve $N_2$ pozitif tam sayilari vardir ki $n \geq N_1$ icin $$|s_n-s|<\frac{\epsilon}{2}$$  ve $n \geq N_2$ icin $$|s_n-t|<\frac{\epsilon}{2}$$ olur. 

$N=\max\{N_1,N_2\}$ olarak tanimlayalim. Bu durumda her $n \geq N$ icin  $$|s-t| =|(s-s_n)+(s_n-t)| \le |s-s_n|+|s_n-t| < \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ olur.  Bu esitsizlik verilen herhangi bir $\epsilon$ icin saglandigindan $s=t$ olur. 

Burada da video olarak var. Cogu ilgili kitapta da ispati vardir.

Comments

Peki neden sadece 2 tane aldık? 3 tane limit varsayımı için bu doğru olur mu?

---

Limit degerleri kumesinden iki eleman alinca ikisi esit cikiyor, bu sekilde hepsi esit olur.

Guzel soru bu arada. Yorum begenme olsa begenirdim.