$$\left(1+\frac1n\right)^n\to e$$ olduğunu gösteriniz.

Question

İlgili linkte yakınsak olduğu gösterilen dizinin limitinin $e$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Murad Bey, bence burada yapılan ispattan sonra geriye dizinin limitine harf vermekten yapılacak bir şey kalmıyor. $$ \lim_{n\to \infty} \left( 1+\dfrac{1}{n}\right)^n $$ ifadesinin bir değeri olduğunu artık biliyoruz. Buna bir harf verelim demiş Euler: ''$a$'yı sevmedim, $b$ iyi değil, $c$ olmadı, $d$ hoşuma gitmedi, ...hımm $e$ olsun. Bu daha iyi durdu.''

Özetle, bu $e$ nin tanımıdır. Yok tanım değildir, deniyorsa ''o eşitliğin sağ tarafına yazdığımız $e$ ile neyi ifade ediyorsunuz?'' sorusunu soracağım.

---

@Lokman Gökçe $e$ sayısının birbirine denk birden fazla tanımı var. Bunların birbirine denk olduğunu göstermek de klasik bir alıştırma.

Ama ben de @murad.ozkoc:un hangi tanımı kullandığını bilmiyorum.

---

Doğrudur, başka türlü tanımlar verilmiş olabilir. mathworld da $$ e = \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k!} \tag{1}$$ eşitliğinin ilk olarak Newton tarafından 1669'da yayınlandığı ifade edilmiş. Yani bir teorem olarak ispatladığını anlıyorum. Sonrada gelen matematikçilerden bu eşitliği tanım olarak almış olanlar olabilir. Tabii dediğiniz gibi bu seri açılımı tanım olarak alan bir matematikçinin $$ e=\lim_{n\to \infty}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right)^n \tag{2}$$

olmak üzere $(1)$ ve $(2)$ ifadelerinin birbirinden elde edilebileceğini göstermesi gerekir. Matematik tarihinde $e$ sayısı ilk olarak nasıl tanımlanmış, bunu da bir soru olarak sorayım. Tarihteki ilk $e$ tanımının $(2)$ deki tanım olduğunu sanıyorum ama önceki öğrenme alışkanlıklarım beni yanıltıyor olabilir. Ben de cevabını bilmiyorum.

---

Ali Nesin'in Analiz 1 kitabından aktaralım:

"e sayısının ilk izlerine, logaritmayı icat eden ˙Isviçreli matematikçi John Napier’nin 1618 tarihli bir kitabının sonundaki ekteki cetvellerde rastlanır; o cetvelleri de William Oughtred’in hazırladığı sanılıyor. Napier’nin kitabında açık açık e’den bahsedilmemekte, sadece bazı logaritmaların e sayısı kullanılarak hesaplandığı anlaşılmaktadır. e’nin matematiksel bir sabit olarak ilk kullanımı 1690-1691 yılları arasında, Leibniz’in Christian Huygens’e yazdığı mektuplardadır. Bu mektuplarda sabite e değil b adı verilmiştir. Jacob Bernoulli bileşik faizleri ¸calışırken ((1+1/n) n )n dizisinin farkına varmıştır. Dizinin yakınsak olduğunu kanıtlamış ve limitini, yani e sayısını hesaplamaya ¸calışmıştır. Euler, e sayısını 1727’de kullanmaya başlamıştır. e sayısını basımevine ilk sokan da Euler’dir, 1736’da yayımlanan Mechanica adlı eserinde e olarak sözetmiştir bu sayıdan. Büyük olasılıkla “üs” anlamına gelen “exponentiation” sözcüğünün ilk harfi olarak e demiştir. Son derece alçakgönüllü olan ve başkalarının çalışmalarına çok saygılı olan Euler’in bu sayıya kendi adından dolayı e demiş olması pek muhtemel değil."

Öte yandan $n$ sayısının çok küçük negatif değerleri için de $(1+1/n)^n$  değerinin $e$ aşkın  sayısına yaklaştığını not düşebiliriz.

Answer 1

P.P. Korovkin'in Eşitsizlikler kitabından $e$ Sayısı isimli pasajı aktarıyorum. $e$'ye eşit olma durumu, yukarıdaki yorumda da belirttiğim gibi bir harf vermekten ibaret oluyor. Konu bütünlüğünü korumak için Sayfa 19-20-21 deki bulunan konu ile ilgili tüm kısımları paylaşıyorum. Bu yazı $e$ nin Tanımı'dır.

Sarı renkli kısmı ayrıca vurgulamak istedim. Çünkü $$ x_n=\left( 1+\dfrac{1}{n}\right)^n $$ dizisi için $$ 2\leq x_n \leq 3 $$ olduğu ve $(x_n)$ dizisinin artanlığı da gösterildikten sonra bu dizinin bir limti olduğu ve biraz hesaplama ile $3$ ten küçük, $3$'e yakın bir limiti olduğu anlaşılıyor. İşte biz bu değere bir harfle gösteriyoruz. Öylesine bir harf, ... mesela $e$ olsun.