Bildiği gibi öğencilerinin limit hesabındaki en büyük
yardımcısı L'Hospital kuralıdır. Ne yazık ki dizilerin limitinin
hesabında bu kural çoğu kez bir işe yaramaz. Fakat dizilerde
de bunun bir karşılığı vardır.
Teorem. $\left( a_{n}\right) $ ve $\left( b_{n}\right) $ iki dizi ,
$\left( b_{n}\right) $ kesin artan ve
$\lim_{n\rightarrow \infty}b_{n}=\infty $ olsun. Eğer
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=L$ ise
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=L$ dir.
Bu teoremde $L=\pm \infty $ da olabilir. Kanıt için Ali Nesin, Analiz
I, örnek 7.38' e bakınız. Link:
https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz\_1.pdf
Şimdi bu kuralı uygulayalım. $y_{n}=\frac{n+1}{\sqrt[n]{n!}}$
olsun.
$\ln y_{n}=\frac{1}{n}\left( n\ln \left( n+1\right)-\sum\limits_{k=1}^{n}\ln k\right) $ dır.
$a_{n}=n\ln \left( n+1\right) -\sum\limits_{k=1}^{n}\ln k$ ve $b_{n}=n$ ise
$\left( b_{n}\right) $ kesin artan ve
$\lim_{n\rightarrow \infty}b_{n}=\infty $ dir. Ayrıca $b_{n+1}-b_{n}=1$ ve
$a_{n+1}-a_{n}=\left( n+1\right) \ln \left( n+2\right) -\ln \left(n+1\right) -n\ln \left( n+1\right) $
$=\ln \left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{\left( n+1\right) }\rightarrow \ln e=1$.
O halde $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=1$
olduğundan $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ olur. Burdan $\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=e$ elde edilir.
Bu problemi çözen bir başka, kanımca önemli, teorem şöyle diyor.
Teorem. $\left( x_{n}\right) $ pozitif terimli bir dizi ve $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=L$ ise $\lim_{n\rightarrow\infty }\sqrt[n]{x_{n}}=L$ dir.
Bu teorem ilk teorem kullanılarak kanıtlanabilir. Bunun için $a_{n}=\ln x_{n}$ ve $b_{n}=n$ alınabilir.
Bu sözü edilen son teorem kullanılarak bir cevap tersinin tersi tarafından zaten verilmiş